第4章例题和习题

,红河学院自动化系,自动控制原理,红河学院自动化系,自动控制原理,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,红河学院自动化系,法则,4,渐近线,法则,1,根轨迹的起点和终点,法则,2,根轨迹的分支数，对称性和连续性,法则,3,实轴上的根轨迹,法则,8,根之和,法则,5,分离点,法则,6,与虚轴交点,法则,7,出射角,/,入射角,法则,1,根轨迹的起点和终点：,根轨迹起始于开环极点，,终止于开环零点,；如果开环零点个数,少于开环极点个数，则有,n-m,条根轨迹,终止于无穷远处,。,法则,2,根轨迹的分支数，对称性和连续性：,根轨迹的分支数,=,开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。,法则,3,实轴上的根轨迹：,从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、,极点到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。,定理,:,若系统有,2,个开环极点，,1,个开环零点，且在复平面存在根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。,法则,4,渐近线,：,n,m,时，,n-m,条根,轨迹分支趋于无穷远处。,渐近线交点,与实轴的夹角,法则,5,分离点和会合点,A(s,),K,r,B(s,),G(s)H(s,)=,A(s)B,(s,)=,A,(s)B(s,),设：系统开环传递函数,按下式求出,S,的根即为分离点和会合点,法则,6,与虚轴交点,：,1,）系统临界稳定点,2,）,s=,j,w,是根的点,根轨迹与虚轴的交点的 可用,Routh,判据确定，或以 代入特征方程求解得出。,法则,7,出射角,/,入射角,（,起始角,/,终止角）,出射角的一般表达式：,m,i,=1,(p,l,-,z,i,),-,(p,l,-,p,j,),n,j,=,l,l,=,+,入射的一般表达式：,n,j,=1,(,z,l,-p,j,),(,z,l,-z,i,)+,m,i,=,l,l,=,-,4-1,系统的开环传递函数为,试证明点,在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益,和开环增益,。,解,若点,s,1,在根轨迹上，则点,s,1,应满足相角条件,，如图解,4-1,所示。对于,，由相角条件,满足相角条件，因此,在根轨迹上。将,s,1,s,1,代入幅值条件：,解出：,图表,-1,零极点分布,s,1,2,1,-1,-1,-2,-2,-3,-4,-5,4-4,已知,单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。,解,根轨迹绘制如下：在,s,平面上标注零极点,实轴上的根轨迹：,分离点与汇合点：,解之得：,起始,角：,由对称性得另一,起始,角为：,根轨迹如图解,4-4(a),所示。,系统有三个开环极点和一个开环零点。,根轨迹绘制如下：,实轴上的根轨迹：,起,始角：,根轨迹如图解,4-4(b),所示。,4-,已知系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。,解,：标注零极点,实轴上的根轨迹：,分离点：,解之得：,渐近线,与虚轴交点：,代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：,解得：,起始角：由相角条件,根轨迹如图解,4-5(a),所示。,系统有四个开环极点、一个开环零点。根轨迹绘制如下：,实轴上的根轨迹：,渐近线：,与虚轴交点：闭环特征方程为,代入上方程，令,解得：,起始角,根轨迹如图解,4-5(c),所示。,4-6,概略绘出,的闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。,解：系统有五个开环极点：,实轴上的根轨迹：,渐近线：,分离点：,解得：,(,舍去,),(,舍去,),与虚轴交点：闭环特征方程为,代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：,解得：,（舍去）,由对称性得，另一起始角为,根轨迹如图解,4-6,所示。,起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为,图解,4-8,根轨迹图,试用根轨迹法确定使闭环系统稳定的开环增益,K,值范围。,解,根轨迹绘制如下：,实轴上的根轨迹：,起始角：,渐近线：,与虚轴交点：闭环特征方程,代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：,解得：,根轨迹如图解,4-8,所示。从根轨迹图可知，闭环系统稳定的,范围为,，又,，故相应的,K,范围为,4-,已知系统的开环传递函数为,4-11,试绘出下列多项式方程的根轨迹。,图解,4-11(b),根轨迹图,解：,作等效开环传递函数,根轨迹绘制如下：,实轴上的根轨迹：,渐近线：,分离点：,解得,(,舍,),(,舍,),与虚轴交点：闭环特征方程为,代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：,可得：,根轨迹如图解,4-11(b),所示。,4-14,已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数,b,从零变化到无穷大时,的根轨迹，并写出,b=2,时系统的闭环传递函数。,（,1,）,实轴上的根轨迹：,分离点：,解得：,(,舍去,),，,如图解,4-14(a),所示，根轨迹为以开环零点为圆心，,开环零点到开环极点的距离为半径的圆。,当,b=2,时，两个闭环特征根为,此时闭环传递函数为,图解,4-14(a),根轨迹图,解（,1,）做等效开环传递函数,回到闭环传递函数导出,1),当,时,即：,2),求,（即,从,到,所需时间,),;,当,;,当,则,（两边取对数）,3),求,阶跃响应第一次达到终,值的,50,所需的时间,阶跃响应到达并保持在终值,5,误差带内所需的最短时间,稳定转速,（伏）,解 依题意有：,弧度,/,秒,弧度,/,秒,设系统传递函数,应有,1.2s,达到稳定转速,50%,（,2,）,（,3,）,由,（,2,）（,3,）得,解出,将（,4,）代（,3,）得,（,4,）,