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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：,（,1,）一维无限深势阱问题；,（,2,）线性谐振子问题；,（,3,）势垒贯穿问题；,（,4,）氢原子问题。,这些问题都给出了问题的精确解析解。,然而，对于大量的实际物理问题，,Schr,dinger,方程能有精确解的情况很少。通常体系的,Hamilton,量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。,第五章 定态微扰论 原子的能级,2,近似方法的出发点,近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。微扰论,变分法,绝热近似,准经典近似等,3,近似解问题分为两类,1,）体系,Hamilton,量不是时间的显函数,定态问题,（,2,）体系,Hamilton,量显含时间,状态之间的跃迁问题,与时间,t,有关的微扰理论,定态微扰论,;,变分法,.,称为微扰算符,.,(2),很小，其具体要求是,其中，,（,1,）可以分解成两部分,于是本征方程可变为,其中，的本征方程,必须能精确求解,.,可用 作为粗略判断,5.1,无简并定态微扰论,无简并是指 的本征值谱中，一个本征值只对应一个,波函数，即,定态微扰论相当于研究下述情况：,无微扰时，,1.,建立级数修正项方程,由于,所以，体系受微扰后，其状态变化较小，,把上面的,E,和 代入 的本征方程中，,再把同级小量分别集中加在一起，得,要使上面等式成立，等式两边同级小量之和必须对应相,等，于是得到一系列求各级修正项的方程,(1),(2),(3),于是可以得到,类似可以得到 等等,.,2.,一级修正的表达式,按 本征函数 展开,（,4,）,把上式代入方程 中可得，,用 左乘上式两边，再对整个空间积分，利用本征函数的,正交归一性化简，得,称为微扰矩阵元,（,5,）,当,m,=,k,时，即取 时，于是从,(5),式可,得到,E,的一级修正,为求 ，现在求,(4),式中各叠加系数。,（,5,）,当,m,k,时，由,(5),式可得叠加系数,或,还有 没有求出，可由归一化条件 求得,.,此时，,于是归一化条件为,必须,把 代入上式，得,为纯虚数,如果 为纯虚数，则设,因此，可以选,于是 的一级修正为,（,6,）,（,7,）,把,(4),式 和上面,(7),式代入方程,(3),式中，,(3),，得,当,m,=,k,时，即取 ，上式可变为,用 左乘上式两边，再对整个空间积分，并利用正交,归一性化简可得,通常情况下，用微扰法对,E,最多计算到二级近似，,对 则只计算到一级近似,.,=0,至此，,具体要求,此条件可保证 很小，也很小。,级数,收敛很快，求到 和,已足够精确。,例：,一维无限深势阱,(0,x,a,),中的粒子，受到微扰 的作用，求基态能量的一级修正,.,解：一维无限深势阱中，粒子能量的本征函数,(,无简并,),为,对于基态，,k,=1,，,基态能量的一级修正值为,例：,设一体系的哈密顿量为 ，其中,的实数,.,求在二级近似下的能量本征值,.,微扰 作用后，两个能级能量的一级修正值分别为,解：,二级修正值：,因此，在二级近似下，两个能级的能量分别为,1.,设一含微扰体系的哈密顿量为,求能量的二级修正值,.,其中，是对角化的，而,作业题,2.,习题,141,页，第一题,
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