圆心角弧弦弦心距之间的关系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,圆的性质,圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。,圆是以圆心为对称中心的,中心对称图形,。,圆还具有,旋转不变性,，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。,圆心角,：顶点在圆心的角。,（如：,AOB,）,C,弦心距,：从圆心到弦的距离。,（如：,OC,）,O,A,B,相关定义,猜想与证明,如图,，,AOB,AOB，OCAB，OCAB。,猜想：,弧,AB,与弧,AB,，,AB,与,AB,，,OC与OC,之间的关系，并证明你的猜想。,定理,相等的圆心角,所对的,弧,相等，所对的,弦,相等，所对的弦的,弦心距,相等。,在同圆或等圆中，,O,A,B,C,A,B,C,圆心角所对的弧相等，,圆心角,所对的弦相等，,圆心角,所对弦的弦心距相等。,推论,在同圆或等圆中,，,如果,两个圆心角,、,两条弧,、,两条弦,或,两条弦的弦心距,中,有,一组量相等,，那么它们所对应,的,其余各组量,都分别,相等,。,题设,结论,在同圆或等圆中,(前提),圆心角相等,（条件）,定理推论,已知：如图，点,P,在,O上,点,O,在,EPF,的平分线上,，,EPF,的两边交,O,于点,A,和,B。,求证：,PA=PB.,E,F,A,B,P,O,基础练习,已知：如图，点,O,在,EPF,的平分线上,，O,和,EPF,的两边分别交于点,A，B,和,C，D。,求证：,ABCD,E,F,O,P,A,C,B,D,变式1,已知：如图，,O,的弦,AB，CD,相交于,点,P，,DPO=,BPO,。,求证：,ABCD,O,C,D,A,B,P,变式2,已知：如图，,O,的弦,AB，CD,相交于,点,P，过P、O的直径为MN，,APO=,CPO,。,求证：,PBPD,变式3,O,C,D,A,B,P,N,M,已知：如图，,AD=BC.,求证：,ABCD,O,C,B,D,A,E,如图，AB、CD是O的两条弦，,OE、OF为AB、CD的弦心距，,如果ABCD，那么,，,，,；,如果OEOF，那么,，,，,；,如果弧AB弧CD，那么,，,，,；,如果AOBCOD，那么,，,，,。,下列说法正确吗？为什么？,在O和O中，AOBAOBABAB,在O和O中，ABAB，弧AB弧AB,注意前提：,在同圆或等圆中,O,A,B,E,C,D,F,复习回顾,1,圆心角,1,弧,C,D,n,圆心角,n,弧,把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1的角。1的圆心角所对的弧叫做1的弧。,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。,一般地，n的圆心角对着n的弧。,弧的度数,判断题：在两个圆中，分别有弧,AB,和弧,CD，,若弧,AB,和弧,CD,的度数相等，则有,：,（1）,弧,AB,和弧,CD,相等；,（）,（2）,弧,AB,所对的圆心角和弧,CD,所对的圆心角相等。,（）,注意：等弧的度数一定相等，但度数相等的弧不一定是等弧！,定义辨析,1,、已知：在,O,中，弦,AB,所对的劣弧为圆的,1/3,，圆的半径为,2cm,。求,AB,的长。,2,、已知,AB,和,CD,为,O,的两条直径，弦,EC/AB,弧,EC,的度数为,40,，求,BOD,的度数。,O,B,A,D,C,E,练习,O,C,B,D,A,P,3、,已知：如图，,PBPD.,求证：,AB=CD,。,变式4,O,B,A,C,D,F,E,4,、已知：如图，,O,的两条半径,OAOB，C、D,是弧,AB,的三等分点,。,求证：,CDAEBF,。,继续提高,弧、弦、弦心距之间的不等量关系,在同圆或等圆中，是不是弧越长，它所对的弦越长？是不是弦越长，它所对的弧越长？,AB和CD是O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD的弦心距，如果ABCD，那么OM和ON有什么关系？为什么？,5,、已知：如图，,O,的两条直径,ABCD，,四条弦,AE/FD/CG/HB。,求证：,E、F、H、G,四等分圆周。,O,B,A,D,C,F,E,G,H,