教育精品：134课题学习_最短路径问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,八年级 上册,13.4,课题学习 最短路径问题,引言：,前面我们研究过一些关于,“,两点的所有连线中，线,段最短,”,、,“,连接直线外一点与直线上各点的所有线段,中，垂线段最短,”,等的问题，我们称它们为最短路径问,题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节,将利用数学知识探究数学史中著名的,“,将军饮马问题,”,引入新知,问题,1,相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久,负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访,海伦，求教一个百思不得其解的问题：,从图中的,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然,后到,B,地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程,最短？,探索新知,B,A,l,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的,知识回答了这个问题这个问题后来被称为,“,将军饮马,问题,”,你能将这个问题抽象为数学问题吗？,探索新知,B,A,l,追问,1,这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将,A,，,B,两地抽象为两个点，将河,l,抽象为一条直 线,探索新知,B,A,l,（,1,）从,A,地出发，到河边,l,饮马，然后到,B,地；,（,2,）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与,A,，,B,连接起来的两条线段的长度之和，就是从,A,地,到饮马地点，再回到,B,地的路程之和；,探索新知,追问,2,你能用自己的语言说明这个问题的意思，,并把它抽象为数学问题吗？,探索新知,追问,2,你能用自己的语言说明这个问题的意思，,并把它抽象为数学问题吗？,（,3,）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最,短的直线,l,上的点设,C,为直线上的一个动点，上,面的问题就转化为：当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小（如图）,B,A,l,C,追问,1,对于问题,2,，如何,将点,B,“,移,”,到,l,的另一侧,B,处，满足直线,l,上的任意一点,C,，都保持,CB,与,CB,的长度,相等？,探索新知,问题,2,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直,线上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,追问,2,你能利用轴对称的,有关知识，找到上问中符合条,件的点,B,吗？,探索新知,问题,2,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直,线上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,作法：,（,1,）作点,B,关于直线,l,的对称,点,B,；,（,2,）连接,AB,，与直线,l,相交,于点,C,则点,C,即为所求,探索新知,问题,2,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直,线上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,B,C,探索新知,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,证明：,如图，在直线,l,上任取一点,C,（与点,C,不,重合），连接,AC,，,BC,，,B,C,由轴对称的性质知，,BC,=,B,C,，,BC,=,B,C,AC,+,BC,=,AC,+,B,C,=,AB,，,AC,+,BC,=,AC,+,B,C,探索新知,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,C,探索新知,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,C,证明：,在,AB,C,中,，,AB,AC,+,B,C,，,AC,+,BC,AC,+,BC,即,AC,+,BC,最短,若直线,l,上任意一点（与点,C,不重合）与,A,，,B,两点的距离,和都大于,AC,+,BC,，就说明,AC,+,BC,最小,探索新知,B,l,A,B,C,C,追问,1,证明,AC,+,BC,最短时，为什么要在直线,l,上,任取一点,C,（与点,C,不重合），证明,AC,+,BC,AC,+,BC,？这里的,“,C,”,的作用是什么？,探索新知,追问,2,回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的,过程、借助什么解决问题的？,B,l,A,B,C,C,运用新知,练习如图，一个旅游船从大桥,AB,的,P,处前往山,脚下的,Q,处接游客，然后将游客送往河岸,BC,上，再返,回,P,处，请画出旅游船的最短路径,A,B,C,P,Q,山,河岸,大桥,运用新知,基本思路：,由于两点之间线段最短，所以首先可连接,PQ,，线,段,PQ,为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为,一条直线,BC,，这样问题就转化为,“,点,P,，,Q,在直线,BC,的同侧，如何在,BC,上找到,一点,R,，使,PR,与,QR,的和最,小,”,A,B,C,P,Q,山,河岸,大桥,归纳小结,（,1,）本节课研究问题的基本过程是什么？,（,2,）轴对称在所研究问题中起什么作用？,教科书复习题,13,第,15,题,布置作业,