第五节-无穷小与无穷大课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,第,2,章 极限与连续,2.2,无穷小与无穷大,一、无穷小,1,、定义,:,极限为零的变量称为,无穷小,.,2.2,无穷小与无穷大,例如,注意,（,2,）无穷小是变量,不能与很小的数混淆,;,（,3,）零是可以作为无穷小的唯一的数,.,（,1,）称一个函数为无穷小，必须指明自变量变化趋势；,注意,无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,.,2,、无穷小的运算性质,:,性质,1,有限个无穷小的代数和仍是无穷小,.,性质,3,有限个无穷小的乘积也是无穷小,.,性质,2,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,.,推论,1,常数与无穷小的乘积是无穷小,.,推论,2,在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小,.,推论,1,在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小,.,推论,2,常数与无穷小的乘积是无穷小,.,都是无穷小,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为,无穷大,.,2.2,无穷小与无穷大,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（,1,）无穷大是变量,不能与很大的数混淆,;,（,4,）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大,.,（,3,）称一个函数为无穷大，必须指明自变量变化趋势；,不是无穷大,无界，,三、无穷小与无穷大的关系,定理,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小,;,不恒为零的无穷小的倒数为无穷大,.,即,2.2,无穷小与无穷大,意义,关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论,.,四、无穷小的比较,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同,.,不可比,.,观察各极限,2.2,无穷小与无穷大,定义,:,例如，,注意：,用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,常用等价无穷小,:,补充：等价无穷小代换,定理,(,等价无穷小代换定理,),证,例,解,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,不能滥用等价无穷小代换,.,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换,.,注意,例,解,例,解,解,错,五、小结,1,、几点注意,:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的,.,（,1,） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（,2,）,无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；,（,3,） 无界变量未必是无穷大,.,2,、无穷小的比较,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,.,3,、等价无穷小的代换,:,求极限的又一种方法,注意适用条件,.,思考题,任何两个无穷小都可以比较吗？,思考题解答,不能,例当 时,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当 时,思考题,思考题解答,不能保证,.,例,有,一、填空题,:,练 习 题,练习题答案,