计算机数学11课件

,第十一章线性方程组,后页,首页,前页,第十一章线性方程组,后页,首页,前页,基本要求,、重点难点,11.1线性方程组的消元法,11.2,线性方程组解的结构,11.3线性代数的应用实例,11.4演示与实验十,基本要求,理解线性方程组解的概念。,理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。,理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。,理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念；掌握用行初等变换求线性方程组的通解的方法，会用特解及相应的导出组的基础解系表示非齐次线性方程组的通解。,重点难点,重点：,线性方程组的解的理论与求解方法。,11.1,线性方程组的消元法,用消元法解线性方程组的具体做法是,：对方程组反复施行初等变换，化为阶梯形方程组，然后从阶梯形方程组中看出原方程组是有惟一解，无穷多解，无解。这种方法称为,高斯消元法,。,上一章中，我们研究了用克拉默法则和逆矩阵求线性方程组的解。它要求方程组必须是,n,个未知量和,n,个方程的线性方程组，而且系数行列式不等于零。对于未知量个数和线性方程组的个数不相等，或者相等但系数行列式为零时，上一章的两种方法将无能为力。,设含有,n,个未知量、有,m,个方程式组成的方程组,其中系数,a,ij,，常数,b,j,都是已知数，,x,i,是未知量（也称为未知数）。当右端常数项,b,1,b,2,b,m,不全为,0,时，称方程组（,11.1.13,）为,非齐次线性方程组,；当,b,1,=,b,2,=,b,m,=0,时，即,（,11.1.13,）,称为,齐次线性方程组,。,（,2,）,由,n,个数,k,1,k,2,k,n,组成的一个有序数组,（,k,1,k,2,k,n,）,，如果将它们依次代入方程组（,11.1.13,）中的,x,1,x,2,x,n,后，（,11.1.13,）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组,（,k,1,k,2,k,n,）,为方程组（,11.1.13,）的一个解。显然由,x,1,=0,x,2,=0,x,n,=0,组成的有序数组,（,0,0,0,）,是齐次线性方程组（,2,）的一个解，称之为齐次线性方程组（,2,）的,无解,，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为,非零解,。,非齐次线性方程组（,1,）的矩阵表示形式为：可用矩阵形式表示为,AX=b,称,A,为方程组（,1,）的系数矩阵，,X,为未知矩阵，,B,为常数矩阵。,将系数矩阵,A,和常数矩阵,B,放在一起构成的矩阵,称为方程组（,1,）的,增广矩阵,。,齐次线性方程组（,2,）的矩阵表示形式为：,AX=,O(11.1.20),。,定理,11.1,线性方程组,(11.1.13),有解的充要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即,r(A,)=,r(B,).,对于方程组,(11.1.14),中，若,b=(0,，,0,，,，,0),T,，则方程组为,AX=O,，,(11.1.20),称为齐次线性方程组。,定理,11.2,齐次方程组,(11.1.20),一定有解：若,r(A,)=n,则只有零解；它有非零解的充要条件是,r(A,),n,。,由上述定理可知，若,m,是系数矩阵的行数：,(1),当,m,n,时，,r(A)m,n,，此时方程组,(11.1.20),一定有非零解，即齐次方程中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；,(2),当,m=n,时，方程组,(11.1.20),有非零解的充要条件是它的系数行列式,det,A=0,(3),当,m=n,且,r(A,)=n,时，此时系数矩阵的行列式,det,A0,，故方程组,(11.1.20),只有零解；,(4),当,m,n,时，此时,r(A)n,，故存在方程组,(11.1.20),的同解方程组，使,“,mn,”,。,在,10.3.2,中我们给出了两个特殊的矩阵,列向量和行向量，为了讨论方便用小写的希腊字母,a,，,，,表示，而对于,n,元线性方程组,(11.1.13),，每一个方程的系数都可以看成一个,n,维行向量，即,i,=(,a,i1,，,a,i2,，,，,a,in,)(,i,=1,，,2,，,，,m,),，共有,m,个,n,维行向量,a,1,，,a,2,，,，,a,m,，叫做系数矩阵的行向量组。,每个未知数的系数构成一个列向量,共有,n,个列向量，称为系数矩阵,m,维列向量组。相应地，方程组,(11.1.13),的常数项也可以表为一个,m,维列向量：,可见，线性方程组,(11.1.13),与,n,+1,个,m,维列向量组,1,，,2,，,n,，,之间是一一对应的。可用向量组表示方程组。若方程组有解，即存在,x,1,x,2,x,n,，,使得,=x,1,1,+x,2,2,+x,n,n,成立，此时称,是向量组,1,2,n,的线性组合。,11.2,线性方程组解的结构,11.2.1,向量的线性相关性,定义,11.1,设,a,1,，,a,2,m,和,都是,n,维行,(,列,),向量，若存在一组数,1,2,a,m,，使得,=,1,1,+,2,2,+,m,m,，,则称向量,是向量组,1,2,m,的线性组合或称,可由向量组,1,2,m,线性表出。,由此可得：方程组,(11.1.13),有解的充要条件是,可由向量组,1,，,2,，,n,线性表出。,例,11.2.1,求证任一,n,维向量,=(a,1,，,a,2,n,),是向量组,1,=,(1,，,0,，,，,0),，,2,=(0,，,1,，,，,0),，,，,n,=(0,，,0,，,，,1),的线性组合。,证,事实上，令,1,=a,1,，,2,=a,2,，,，,n,=a,n,，则有,=(a,1,，,a,2,，,，,a,n,)=a,1,1,+a,2,2,+a,n,n,.,即向量,是向量组,1,，,2,，,，,n,的线性组合，或者说任意,n,维向量可由向量组,1,，,2,，,，,n,线性表出。向量组,1,，,2,，,，,n,称为,n,维单位向量组。,定义,11.2,设,n,维向量,1,2,m,，,若存在一组不全为零的实数,1,2,m,，使,1,1,+,2,2,+,+,m,m,=0,成立，则称向量组,1,2,m,线性相关。否则，称向量组,1,2,a,m,线性无关。,定义,11.3,在向量组,1,2,m,中，若有,r,个向量,(,rm,),线性无关，而任意添加一个向量,(,r,个向量之外还有的话,),都是线性相关，则称这,r,个向量构成的部分向量组称为原向量组的极大线性无关组，简称,极大无关组,。,11.2.2,齐次线性方程组解的结构,设线性方程组,(11.1.13),，写成矩阵形式如,(11.1.14),的形式，当,b,1,=,b,2,=,=,b,m,=0,，,即,b,为零向量时，为齐次方程组,(11.1.20),。也称为方程组,(11.1.14),的导出方程组。方程组的解是一个列向量,X,=(,x,1,，,x,2,，,，,x,n,),T,，称为方程组的解向量。,设齐次方程组,(11.1.20),有非零解，则它的解有下述性质：,定义,11.4,设,1,，,2,，,，,s,是方程组,(11.1.20),的一组解向量，并且：,(1),1,，,2,，,，,s,线性无关；,(2),方程组,(11.1.20),的任一解向量,都可由向量组,1,，,2,，,，,s,线性表出。,则称,1,，,2,，,，,s,是线性方程组,(11.1.20),的一个基础解系。,定理,11.3,若齐次线性方程组,(11.1.20),的系数矩阵,A,的秩,r,n,(,r,0,),，那么方程组,(11.1.20),有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于,n-r,。,对于齐次线性方程组，其向量方程形式为：,Ax=,O,，它的解向量可用通式表示为：,=,k,1,1,+,k,2,2,+.+,k,n-r,n-r,，,(,其右端的,1,2,n-r,都是解向量：若取,k,1,=1,，其余的,k,为,0,，即可看出,1,为解向量，,.,。,),故我们可以说，,Ax,=0,的解向量为某,n-r,个线性无关的解向量的线性组合。,注：这任意,n-r,个线性无关的解向量是齐次线性方程组解空间中的一个最大线性无关组。是解空间的一个基。,11.2.3,非齐次线性方程组解的结构,齐次线性方程组,(11.1.13),的解与它的导出方程组,(11.1.20),的解之间有密切的关系，具有以下两个性质：,定理,11.4,若,*,是方程组,(11.1.13),的一个解，,1,，,2,，,，,n-r,是它的导出组,(11.1.20),的一个基础解系，则方程组,(11.1.13),的全部解为,=,*,+,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n-r,n-r,，,(11.2.5),。,其中,k,1,，,k,2,，,，,k,n-r,是任意实数。,证,先证,是方程组,(11.1.13),的一个解。事实上，由于,A,=,A,(,*,+,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n-r,n-r,),=,A,*,+,k,1,A,1,+,k,2,A,2,+,k,n-r,A,n-r,=,b,+O,+O=,b,.,再证方程组,(11.1.13),的任意解都可以用式,(11.2.5),表示。设,是方程组,(11.1.13),的任意一个解，则由性质,11.3,知，,-,*,可由导出组的一个基础解系表出，即有,-,*,=,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n-r,n-r,，,于是，,=,*,+,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n-r,n-r,.,11.3,线性代数的应用实例,11.3.1,线性规划问题,例,11.3.1,线性规划问题的一般形式如下：设有,n,个变量,x,1,x,2,x,n,满足,S,称为目标函数，式,(11.3.3),称为约束条件。,引入新的非负变量,(,称为松弛变量,),x,3,x,4,x,5,就可以使不等式组,(11.3.2),变为一组等式。因为,2,x,1,+,x,2,比,80,小，加上某个正数量,x,3,，使得它们的和为,80,。类似地，也可以使式,(11.3.2),的另外两式变为等式，于是，有,显然，满足式,(11.3.4),和式,(11.3.5),的解,x,i,(,i,=1,2,3,4,5),中的,x,1,x,2,必定满足式,(11.3.1),和式,(11.3.2),，因此，求满足式,(11.3.5),的解,x,i,(i,=1,2,3,4,5),使,50,x,1,+30,x,2,+0,x,3,+0,x,4,+0,x,5,(,即式,(11.3.4),取最大值，其中的,x,1,、,x,2,就是原线性规划问题的解。因此，我们将公式,(11.3.3),改写成等式形式，称为线性规划问题的标准形式，即,其中,b,i,0(,i,=1,2,m,).,满足公式,(11.3.6),的,x,1,x,2,x,n,称为线性规划问题的最优解，相应地,max,S=S,0,称为该问题的最优值。,11.3.2,线性规划问题的初等解法,如果把,S,亦视为一个变量，公式,(11.3.6),写为,11.4,演示与实验十,11.4.1,实验目的,1.,学习用,Mathematica,判定非齐次线性方程组解的存在性；,2.,学习用,Mathematica,求齐次线性方程组的基础解系和通解；,3.,学习用,Mathematica,求非齐次线性方程组的通解和特解。,11.4.2,内容与步骤,1.,用,Mathematica,判定非齐次线性方程组解的存在性。,根据线性方程组解的存在性定理，只要求出系数矩阵和增广矩阵的秩，即可判定方程组的解是否存在。,求矩阵的秩，除可以用,10.6.2,中的方法外，还可以用下面的命令：,n,-Length,NullSpace,A,其中，,n,是矩阵,A,的列数，,Length,NullSpace,A,是齐次线性方程组,AX,=O,的基础解系所含解的个数。,2.,用,Mathematica,求齐次线性方程组的基础解系和通解,(1),求,AX,=O,的基础解