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,Klicken Sie,um das Format des Titel-Masters zu bearbeiten.,Klicken Sie,um die Textformatierung des Masters zu bearbeiten.,Zweite Ebene,Dritte Ebene,Vierte Ebene,Fnfte Ebene,Foil,#,节向量到子空间的距离,定义,向量到子空间各向量间的最短距离,最小二乘法,最小二乘法,一、定义,在解析几何中，两个点,和,间的距离等于向,量,-,的长度,.,在欧氏空间中我们同样可引入,定义,13,长度,|,-,|,称为向量,和,的,距离,记为,d,(,).,不难证明距离的三条基本性质：,1),d,(,),=,d,(,),；,2),d,(,),0,，并且仅当,=,时等号才成立,;,3),d,(,),d,(,),+,d,(,),(,三角不等式,).,二、向量到子空间各向量间的最短距离,在中学所学几何中知道一个点到一个平面,(,或,一条直线,),上所有点的距离以垂线最短,.,下面可以证,明一个固定向量和一个子空间中各向量的距离也是,以“垂线最短”,.,先设一个子空间,W,，它是由向量,1,2,k,所生成，即,W,=,L,(,1,2,k,).,说一个向量,垂,直于子空间,W,，就是指向量,垂直于,W,中任何一,个向量,.,容易验证,垂直于,W,的充分必要条件是,垂直于每个,i,(,i,=1,2,k,).,现在来证明,向量到子空间各向量间的距离以垂,线最短,.,设,是给定的一向量，,是,W,中的向量，且满,足,-,垂直于,W,.,要证明,到,W,中各向量的距离,以垂线最短，就是要证明，对,W,中任一向量,，,有,|,-,|,|,-,|.,我们可以画出下面的示意图：,-,-,-,W,图,9-2,证明,-,=(,-,)+(,-,).,因,W,是子空,间，,W,，,W,，则,-,W,.,故,-,垂直于,-,.,由勾股定理，有,|,-,|,2,+|,-,|,2,=|,-,|,2,，,故,|,-,|,|,-,|.,证毕,三、最小二乘法,1.,引例,上述几何事实可以用来解决一些实际问题,.,其,中的一个应用就是解决最小二乘法问题,.,先看下面,的例子,.,引例,已知某种材料在生产过程中的废品率,y,与某种化学成分,x,有关,.,下列表中记载了某工厂生,产中,y,与相应的,x,的几次数值：,y,(,)1.00 0.9 0.9 0.81 0.60 0.56 0.35,x,(,)3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2,我们想找出,y,对,x,的一个近似公式,.,解,把表中数值画出图来看，发现它的变化,趋势近于一条直线,.,因此我们决定选取,x,的一次式,ax,+,b,来表达,.,当然最好能选到适当的,a,b,使得,下面的等式,3.6,a,+,b,-1.00=0,3.7,a,+,b,-0.9=0,3.8,a,+,b,-0.9=0,3.9,a,+,b,-0.81=0,4.0,a,+,b,-0.60=0,4.1,a,+,b,-0.56=0,4.2,a,+,b,-0.35=0,都成立,.,实际上是不可能的,.,任何,a,b,代入上面,各式都会发生些误差,.,于是想找,a,b,使得上面各,式的误差的平方和最小，即找,a,b,使,(3.6,a,+,b,-1.00),2,+(3.7,a,+,b,-0.9),2,+(3.8,a,+,b,-0.9),2,+(3.9,a,+,b,-0.81),2,+(4.0,a,+,b,-0.60),2,+(4.1,a,+,b,-0.56),2,+(4.2,a,+,b,-0.35),2,最小,.,这里讨论的是误差的平方即二乘方，故称为,最小二乘法,.,现在转向一般的最小二乘法问题,.,2.,定义,定义,14,线性方程组,可能无解,.,即任何一组数,x,1,x,2,x,s,都可能使,不等于零,.,我们设法找,x,1,0,x,2,0,x,s,0,使,(1),最小,这样的,x,1,0,x,2,0,x,s,0,称为方程组的,最小二乘解,.,这种问题就叫做,最小二乘法问题,.,3.,最小二乘法的代数表示,下面我们利用欧氏空间的概念来表达最小二乘,法，并给出最小二乘解所满足的条件,.,令,(2),用距离的概念，,就是,|,Y,-,B,|,2,.,最小二乘法就是,找,x,1,0,x,2,0,x,s,0,使,Y,与,B,的距,离最短,.,但从,知道向量,Y,就是,把,A,的各列向量分别记成,1,2,s,.,由它们,生成的子空间为,L,(,1,2,s,).,Y,就是,L,(,1,2,s,),中的向量,.,于是最小二乘法问题可叙述,成：,找,X,使,最小，就是在,L,(,1,2,s,),中找一向量,Y,，使得,B,到它的距离比到子空间,L,(,1,2,s,),中其他向量的距离都短,.,4.,最小二乘解的求法,应用前面所讲的结论，设,Y,=,AX,=,x,1,1,+,x,2,2,+,x,s,s,是所要求的向量，则,C,=,B,-,Y,=,B,-,AX,必须垂直于子空间,L,(,1,2,s,).,为此只须,而且必须,(,C,1,)=(,C,2,)=(,C,s,)=0.,回忆矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相,乘的式子，即,1,T,C,=0,2,T,C,=0,s,T,C,=0.,而,1,T,2,T,s,T,按行正好排成矩阵,A,T,，上述,一串等式合起来就是,A,T,(,B,-,AX,)=0,，,或,A,T,AX=A,T,B,.,这就是最小二乘解所满足的代数方程，它是一个线,性方程组，系数矩阵是,A,T,A,，常数项是,A,T,B,.,这种,线性方程组总是有解的,.,(,参见第,5,章习题,17),现在回到前面的例子，易知,最小二乘解,a,b,所满足的方程是,即为,解得,a,=-1.05,b,=4.81(,取三位有效数字,),.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,
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