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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,观察可能导致发现,观察将揭示某种规则、模式或定律。,波利亚,第十三章 轴对称,13.1.2,线段的垂直平分线,学习目标,1.,掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理,2.,能运用两个定理解决有关的实际问题,重点,：,线段垂直平分线的性质定理及逆定理的推理及证明,难点,：明确线段垂直平分线的性质和判定的区别,1,、,，,AB,AC,（,_,_,）,2,、,_,，,A,在线段,BC,的中垂线上（,_,B,C,A,D,3,、如图，,NM,是线段,AB,的中垂线,下列说法正确的有,：,。,ABMN,AD=DB,，,MNAB,，,MD=DN,，,AB,是,MN,的垂直平分线,A,B,M,N,D,自学指导,自学课本,P61,页“探究”，理解线段垂直平分线的性质与判定定理，,回答以下问题：,助学解疑,A,B,13.1,线段的垂直平分线,PA=PB,P,1,P,1,A=P,1,B,命题,：线段垂直平分线上的,点,和这条线段两个端,点,的距离相等。,P,M,N,C,动手操作,：,如图在纸上画一条线段,AB,通过对折后点,A,与点,B,重合，思考下列问题：,（,1,）将纸展开后铺平，记折痕所在的直线为,MN,直线,MN,与线段的交点为,C,线段,AC,与,BC,的长度有什么关系？,（,2,）直线,MN,与线段,AB,有怎样的位置关系？,（,3,）在,MN,上任取一点,P,，连结,PA,、,PB,；,量一量：,PA,、,PB,的长，你能发现什么？,由此你能得到什么规律？,证一证：,线段垂直平分线上的,点,与这条线段,两个端点,的距离相等。,A,B,P,M,N,C,PA=PB,直线,MNAB,垂足为,C,且,AC=CB.,已知：如图，,点,P,在,MN,上,.,求证：,证明：,MNAB,PCA=PCB,在,PAC,和,PBC,中，,AC=BC,PCA=PCB,PC=PC,PAC PBC,PA=PB,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。,线段的垂直平分线性质：,A,B,P,M,N,C,PA=PB,点,P,在线段,AB,的垂直平分线上,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等,反过来，如果,PA=PB,，那么点,P,是否在线段,AB,的垂直平分线上呢？,用几何语言表示为：,CA,=,CB,，,MN,AB,，,PA,=,PB,性质定理有何作用,？,可证明线段相等,（,线段的垂直平分线性质,逆命题）,A,B,P,C,反过来，如果,PA=PB,，那么点,P,是否在线段,AB,的垂直平分线上呢？,PA=PB,点,P,在线段,AB,的垂直平分线上,?,求证：,与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。,已知：如图，线段,AB,，,PA=PB,求证：,P,点在,AB,的垂直平分线上,证法一,过点,P,作已知线段,AB,的垂线,PC,，,PA,PB,，,PC,PC,，,Rt,PAC,Rt,PBC(,HL,),AC,BC,，,即,P,点在,AB,的垂直平分线上,证法二,取,AB,的中点,C,，,过,P,，,C,作直线,PA,PB,，,PC,PC,，,AC,CB,，,APC,BPC(,SSS,),PCA,PCB(,全等三角形的对应角相等,),又,PCA,PCB,180,，,PCA,PCB,90,，,即,PC,AB,，,P,点在,AB,的垂直平分线上,证法三,过,P,点作,APB,的平分线,PA,PB,，,1,2,，,PC,PC,，,APC,BPC(,SAS,),AC,BC,，,PCA,PCB(,全等三角形的对应边相等,，,对应角相等,),又,PCA,PCB,180,，,PCA,PCB,90,，,P,点在,AB,的垂直平分线上,有一个同学是这样证明的，你认为他的证明的方法对吗,?,证明：,过,P,作线段,AB,的垂直平分线,PC.,AC,CB,，,PCA,PCB,90,，,P,在,AB,的垂直平分线上,用几何符号表示为,：,PA,=,PB,，,点,P,在,AB,的垂直平分线上,线段垂直平分线的判定,与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上,P,A,B,C,判定定理有何作用？,用途：判定一条直线是线段的中垂线,判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。,性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。,PA=PB,点,P,在线段,AB,的垂直平分线上,判定,A,B,P,C,性质,题设和结论正好相反，是互逆关系,线段垂直平分线性质,（,1,）线段,AB,的垂直平分线上的所有点都满 足“,与点,A,、,B,的距离相等,”这一条件吗？,线段的垂直平分线,可以看作是和线段两个端点距离相等的所有的点的集合,想一想,（,2,）满足“,与,A,、,B,的距离相等,”的所有点都,在线段,AB,的垂直平分线上吗？,A,B,M,N,D,纠错,.,互教,1,、,，,AB,AC,（,_,_,）,2,、,_,，,A,在线段,BC,的中垂线上（,_,AD,为,BC,的中垂线,AB,AC,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上,。,B,C,A,D,3,、如图，,NM,是线段,AB,的中垂线,下列说法正确的有,：,。,ABMN,AD=DB,，,MNAB,，,MD=DN,，,AB,是,MN,的垂直平分线,A,B,M,N,D,自学指导,自学课本,P61,页“探究”，理解线段垂直平分线的性质与判定定理，,回答以下问题：,1,、如图直线,MN,垂直平分线段,AB,，则,AE=AF,判断题,课堂练习,A,B,M,E,F,N,2,、如图线段,MN,被直线,AB,垂直平分，则,ME=NE,课堂练习,判断题,A,B,M,N,E,3,、如图,PA=PB,，则直线,MN,是线段,AB,的垂直平分线。,课堂练习,A,B,M,N,P,4.,下列说法：若直线,PE,是线段,AB,的垂直平分线，则,EA=EB,，,PA=PB,；若,PA=PB,，,EA=EB,，则直线,PE,垂直平分,线段,AB,；若,PA=PB,，则点,P,必是线段,AB,的垂直平分线上,的点；若,EA=EB,，则过点,E,的直线垂直平分线段,AB,其,中正确的个数有（）,A,1,个,B,2,个,C,3,个,D,4,个,C,课堂练习,能力提升,8,课堂练习,5.,如图，,在,ABC,中,，,BC,=,8,，,AB,的中垂线,交,BC,于,D,，,AC,的中垂线交,BC,与,E,，,则,ADE,的周长等,于,_,A,B,C,D,E,解：,AB,=,AC,，,点,A,在,BC,的垂直平分线,MB,=,MC,，,点,M,在,BC,的垂直平分线上直线,AM,是线段,BC,的垂直,平分线,课堂练习,P62 2,如图，,AB,=,AC,，,MB,=,MC,直线,AM,是线段,BC,的垂直平分线吗,？,A,B,C,D,M,解：,AD,BC,，,BD,=,DC,AD,是,BC,的垂直平分线,AB,=,AC,点,C,在,AE,的垂直平分线上,AC,=,CE,AB,=,AC,=,CE,课堂练习,P62,2,如图，,AD,BC,，,BD,=,DC,，,点,C,在,AE,的垂直平分线上，,AB,，,AC,，,CE,的长度有什么关系？,AB,+,BD,与,DE,有什么关系,？,A,B,C,D,E,AB,=,CE,，,BD,=,DC,，,AB,+,BD,=,CD,+,CE,即,AB,+,BD,=,DE,会用了吗？,练习：如图，若,AC=12,，,BC=7,，,AB,的垂直平分线交,AB,于,E,，交,AC,于,D,，,求,BCD,的周长。,D,C,B,E,A,解：,ED,是线段,AB,的垂直平分线,BCD,的周长,=BD+DC+BC,BCD,的周长,=,=,=,BD=AD,AD+DC+BC,AC+BC,12+7=19,变式,如图，直线,DE,经过,AB,的中点,E,且交,AC,于,D,点，连接,BD,，若,AC=12,，,BC=7,，,CD=4,，,BCD,的周长为,19,.,则直线,DE,与,AB,有何关系,?,为什么？,D,C,B,E,A,解：,直线,DE,垂直平分线段,AB,AC=12 CD=4,AD=8,BCD,的周长,=19,BC=7 CD=4,19=BD+4+7,BD=8,AD=BD,点,D,在线段,AB,的垂直平分线上,又,DE,经过,AB,的中点,E,DE,垂直平分线段,AB,用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一 个简易的“弓”，“箭”通过木棒,中央,的孔射出去，怎样才能保持射出去的方向与木棒垂直呢？,只要,AC=BC,就可以了,A,B,C,为什么？,12.3,角的平分线,O,D,E,A,B,P,C,在角的平分线上的点到这个角的两边的,距离相等,。,到一个角的两边的,距离相等,的点，在这个角的平分线上。,角的平分线是到角的,两边,距离,相等,的所有点的集合,13.1,线段的垂直平分线,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的,距离相等,。,和一条线段两个端点,距离相等,的点，在这条线段的垂直平分线上。,线段的垂直平分线可以看作是和线段,两个端点,距离相等,的所有点的集合,A,B,M,N,P,点的集合是一条射线,点的集合是一条直线,整理小结,一个方法,证明线段相等的新方法：利用线段垂直平分线的性质。,两条定理,线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。,与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。,再 见！,折纸,;,过中点做垂线,;,尺规作图法,
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