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24.1.2垂直于弦的直径,点击页面即可演示,O,圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,提问,:,圆是什么对称图形,?,圆是特殊的中心对称图形,绕对称中心旋转任意角度都与原来重合,.,旋转不变性,B,A,A,O,B,O,A,C,B,N,M,D,圆的轴对称性,经过圆心的每一条直线,都是它的对称轴,.,或,:,任意一条直径所在的直线,都是圆的对称轴,.,任意一条直径都是圆的对称轴,(),O,A,C,B,D,如图,:,直径,AB,垂直于直径,CD,则,OA=OB.,若把,AB,向下平移,即直径,CD,垂直于弦,AB,于,M,则,AM=BM,成立,吗？,C,D,A,B,M,O,怎样证明？,探究,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧,.,垂,径定理,:,C,D,A,B,M,O,直径,CD,弦,AB,于,M,，,则,AM=BM,，,AC,BC,BD,AD,直,线,CD,过圆心,O,CD,AB,AM=BM,弧,AC,=,弧,BC,弧,AD,=,弧,BD,垂径定理,：,C,D,A,B,M,O,如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句,会有一些什么样的结论呢？,直线,CD,过圆心,O,CD,AB,AM=BM,弧,AC,=,弧,BC,弧,AD,=,弧,BD,垂径定理,：,垂径定理的推论,探究,直线,CD,过圆心,AM=BM,CD,AB,弧,AC,=,弧,BC,弧,AD,=,弧,BD,探索一：,结论：,C,D,A,B,M,O,推论,1.,(1),平分弦,(,不是直径,),的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,.,CD,AB,AM=BM,直线,CD,过圆心,O,弧,AC,=,弧,BC,弧,AD,=,弧,BD,探索二,：,C,D,A,B,M,O,推论,1:,(2),弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧,;,C,CD,AB,AM=BM,弧,AD,=,弧,BD,直线,CD,过圆心,O,弧,AC,=,弧,BC,探索三,：,C,D,A,B,M,O,推论,1:,(3),平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,.,推论,1:,(1),平分弦,(,不是直径,),的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,;,(2),弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧,;,(3),平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,.,引伸,垂径定理及其推论,1,的实质是把,(1),直线,MN,过圆心,;(2),直线,MN,垂直,AB,;,(3),直线,MN,平分,AB,;(4),直线,MN,平分弧,AMB,;,(5),直线,MN,平分弧,ANB,中的两个条件进行了四种组合,分别推出了其余的三个结论,.,推论,2.,圆的两条平行弦所夹的弧相等,.,M,O,A,B,N,C,D,你能证明吗？,.,你能,破镜重,圆,吗？,A,B,A,C,m,O,作弦,AB,AC,及它们的垂直平分线,m,n,交于,O,点,;,以,O,为圆心,OA,为半径作圆,.,破镜重,圆,A,B,C,m,n,O,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对,的两条弧,.,作图依据：,已知,:,AB,、,CD,是,O,的两条平行弦,MN,是,AB,的垂直平分线,.,求证,:,MN,垂直平分,CD,.,M,O,A,N,C,D,B,M,O,A,B,N,C,D,证明,:(,一,),由,AB,CD,可得,：,弧,AC,=弧,BD,MN,是,AB,的垂直平分线 则有：,MN,过圆心,O,是,直径,弧,AM,=弧,BM,MN,垂直平分,CD,弧,AM,弧,AC,弧,BM,弧,BD,即,弧,CM,弧,DM,M,O,B,N,C,D,证明,:,(,二,),MN,是,AB,的垂直平分线,MN,过圆心是直径,MN,CD,MN,平分,CD,A,AB,CD,MN,AB,MN,垂直平分,CD,船能过,拱桥吗,2.,如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为,7.2,米,拱顶高出水面,2.4,米,.,现有一艘宽,3,米、船舱顶部为长方形并高出水面,2,米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,A,D,O,F,C,E,N,B,H,M,r,能,垂径定理的逆应用,在直径为,650mm,的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,.,若油面宽,AB,=600mm.,求油的最大深度,.,E,D,600,B,A,O,200mm,在直径为,650mm,的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,.,若油面宽,AB,=600mm,求油的最大深度,.,B,A,O,600,D,C,450mm,1.,在,O,中,P,为其内一点,过点,P,的最长弦的长为,8cm,最短的弦的长为,4cm,则,OP,的长为,cm.,2.,已知,:,如图,O,的半径是,25cm,弦,AB,=48cm,AB,所对的劣弧和优弧的中点分别是,C,、,D.,求,AC,和,AD,的长,.,AC,=30cm;,AD,=40cm,O,D,C,B,A,课堂小结：,本节课探索发现了,垂径定理,的,推论,.,要分清推论的,题设,和,结论,即已知什么条件,可推出什么结论,.,这是正确理解应用推论的关键,.,再见,
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