第4章 一阶电路过渡过程的分析

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,化学工业出版社,第,4,章 一阶电路过渡过程的分析,学习要点,动态电路的换路定则,一阶电路的零输入响应,一阶电路的零状态响应,一阶电路的全响应,一阶电路暂态分析的“三要素法,”,第,4,章 一阶电路过渡过程的分析,4.1,过渡过程和电路初始条件的求解,4.1.1,动态电路及其过渡过程,1.,动态电路及其描述方法,电容和电感是两种动态元件，其电压和电流的约束关系要用微分或积分,形式来表述。我们把含有动态元件电容、电感的电路称为动态电路。动态电,路需要用微分方程来描述。,2.,电路的过渡过程,动态电路有一个特征：当开关断开或接入使电路结构或元件参数发生改,变时，可能使电路改变原来的工作状态而进入另一个工作状态，并且电路的,这种转换往往需要一个过程，该过程被称为过渡过程。,4.1.2,换路与电路的初始条件,1.,换路,在电路理论中，把电路结构或参数的变化所引起的电路变化称为“换路”，,并认为换路是在极短的时间，即,t=0,时刻进行的。把换路前趋近于换路的一瞬,间记为,t=0-,，换路后的瞬间记为,t=0+,，换路所经历的时间为,0-,到,0+,。,2.,电路的初始条件,电路的初始条件又称初始值，是指所求变量（,u,或,i,）及其（,n-1,）阶导数在,t=0+,时的值。电路的初始条件可分为独立初始条件和相关初始条件两种。由于电容电压和,电感电流往往是动态电路的主要分析对象，因此通常把初始时刻的电容电压,u,C,(0+),和,电感电流,i,L,(0+),称为独立初始条件，简称初始条件；而把通过独立初始条件、基尔霍,夫定律及欧姆定律求出的其他电压和电流的初始值称为相关初始条件，也称为非独立,的初始条件。,4.1.3,电路初始条件的求解,1.,换路定律,换路定律是指在换路瞬间，电容元件的电流值有限时，其电压不能跃变；电感,元件的电压值为有限时，其电流不能跃变。,即：,2.0,等效电路分析法,换路定律只能用来求解独立初始条件，而剩下的相关初始条件则需要采用,0,等效,电路分析法进行求解。,0,等效电路分析法的具体做法如下：,（,1,）把,t=0,时电容和电感分别以值为,u,C,(0+),的电压源和值为,i,L,(0+),的电流源来替代。,（,2,）对电路中的独立电源取,t=0+,时的值，此时获得,0,等效电路。,（,3,）应用电阻电路的分析方法求解非独立的初始条件。,如图所示，,t,=0,时刻关闭开关，求,i,S,(0+),为多少？,【,例,】,电路图,0+,等效电路,解：,（,1,）据换路定律：,（,2,）画出,0,等效电路,（,3,）对于结点,a,，应用,KCL,可得,则,4.1.4,研究过渡过程的实际意义,过渡过程是客现存在的物理现象。从理论上讲，过渡过程所经历的时间是无限,长的；但实际上电路中的过渡过程一般是快速的、短暂的，通常为纳秒级到秒级之,间。过渡过程的持续时间虽然很短，但在过渡过程中产生的过电压或过电流现象会,使元器件和电气设备受损、毁坏，甚至能威胁到人身安全。另一方面，许多电子仪,器（如计算机）中的电路，某些控制电路却经常工作在过渡过程当中，即过渡过程,是这类电路的正常工作状态。所以，我们研究电路的过渡过程，一方面能够掌握和,认识过渡过程的客观规律，以便在日常产生生活中加以利用；另一方面也能防止它,可能带来的危害。,1.,产生过渡过程的外因是什么？内因是什么？,2.,电路发生换路的瞬间，电容电压和电感电流不能突变的原因是什么？,3.,电路发生换路的瞬间，电容和电感可分别等效为何种元件？,【,思考题,】,4.2,一阶电路的零输入响应,如果电路无输入激励，其响应是由电路内的储能元件的原始储能而引起的，,这种电路响应称为,零输入响应。,4.2.1 RC,电路的零输入响应,如图,(a),所示的,RC,电路，开关,S,在,“,1,”,位置时已达到稳态，电容电压,u,C,(0,)=U,。,设在,t=0,瞬间换路，即,t=0,时将,S,转换到,“,2,”,位置。根据换路定理,u,C,(0,)=u,C,(0,)=U,。,工作状态等效为如图,(b),所示的电路。我们把这种没有外加激励，只是根据储能元件,初始储能工作的电路称为零输入电路。,1.,求换路后的电容电压,u,C,(t,),式中,=RC,称为时间常数。,具有,时间量纲，单位,:,秒,2.,电路中的电流的计算,式中,为初始电流，,“,-,”,号表示此时电流实际方向与图中的参考方向相反，,电路处于电容器放电状态。,3.,电阻电压的计算,由上述分析可知，,u,C,、,i,C,、,u,R,同为,RC,电路的零输入响应，同一电路各响应的时间,常数均相同，其变化曲线如图,(c),所示。这三种响应均按指数规律衰减；电容所存储,的能量耗尽、各响应将衰减为零；衰减速度由,RC,所决定，并且时间常数越大，,衰减越慢。,4.2.2 RL,电路的零输入响应,仅含有一个电感元件的,RL,一阶电路如图（,a,）所示，电路原已经达到稳态，求得,t=0,时开关,S,闭合，,t0,时,RL,电路的输入为零，其响应是由电感,L,初始储能所引起,的，因此也是零输入响应。,1.,电流的求解,换路后,RL,一阶电路的工作状态等效为图（,b,）所示的电路,为,RL,电路的时间常数，,来表征其衰减的快慢。,2.,电路电压的计算,电感上的电压,电阻上的电压,由此可知：电感电流,i,L,、电感电压,u,L,、电阻电压,u,R,同为,R,L,电路的零输入,响应，它们的变化规律如图（,c,）所示，都是按照指数规律衰减。,4.3,一阶电路的零状态响应,电路换路前储能元件无储能（零初始状态），由施加于电路的输入信号,所产生的响应称,零状态响应。,4.3.1 RC,电路的零状态响应,如图（,a,）所示的,RC,电路，开关,S,在闭合前电路处于零状态，即电容电压,u,C,(0,)=0,，,没有初始储能。设,t=0,瞬间换路，即,t=0,时将,S,闭合，电路与恒压源接通，给电容充电。,零状态电压响应,u,C,和电流响应,i,C,随时间,t,变化的曲线如图（,b,）所示，,u,C,是按指数,规律由零向稳态值,U,逐渐增大的。,该电路的全解为,响应电流,RC,电路的零状态响应相当于电容充电的过程。其充电速度由时间常数,来决定，,RC,越大，,越大，充电越慢；反之则充电越快。此外，由于换路瞬,间,u,C,(0+)=0,，电容元件相当于短路，电路中的电流会发生突变，产生初始冲击,电流，所以此时电路中若串有电流表，要注意初始冲击电流是否会超过其量程。,注意：,如图（,b,）所示,RC,串联电路，已知,U,=100V,，,R,=10K,，,C,=6F,，,u,C(0-)=0,，,在,t,=0,时闭合开关,S,。求：（,1,）最大充电电流；（,2,）开关闭合后经历多长时间，电,容上的电压才能达到,80V,？,解：（,1,）根据,R,、,C,充电电路原理可知，开关,S,合上瞬间充电电流最大，其值为,【,例,】,（,2,）由于,u,C(0-)=0,，所以,u,C(0+)=,u,C(0-)=0,，且,设开关合上后到,t1,时，电容上电压充到,80V,，已知,U=100V,，电路的时间常数为,RC=10,103,6,10,6,60ms,因此,所以,t1=96.6ms,4.3.2 RL,电路的零状态响应,图（,a,）所示的,RL,一阶电路同样能产生零状态响应。已知开关,S,闭合前,i,L,为零。图（,b,）为,i,L,、,u,L,的波形图。,在图,1,所示电路中，已知,U=20V,，,L=0.01H,，,R1=R2=20,，,R3=10,。开关闭合前,电路处于零状态，,iL(0,),0,。求开关闭合后电感中的电流。,【,例,】,解：为了求解通过电感的电流，可利用戴维南定理将电感,L,以外的电路部分化简,为戴维南等效电路如图,2,所示。,电路的时间常数,则,1.,没有外施激励，已有初始储能的电路是什么电路，初始储能元件在电路中产生的,响应是什么响应？,2.,接通电源前储能元件没有初始储能的电路是什么电路，此时由外施信号激励在电,路中产生的响应是什么响应？,【,思考题,】,4.4,一阶电路的全响应和三要素法,前面讨论了一阶电路的零输入响应和零状态响应，本节将讨论电路的全响应。,电路的全响应是非零状态的一阶电路受到外施激励时所引起的响应，这时电路的,响应是外加激励和储能元件的初始储能共同作用的结果，可看做零输入响应和零,状态响应的叠加。,4.4.1,一阶电路的全响应,本节我们以外加恒定激励的,RC,串联电路为例来讨论一阶电路的全响应。如图,(a),所示的,RC,电路，开关,S,在闭合前电容电压,uC(0,)=U0,，此时电路的储能是非零状态。,设在,t=0,瞬间换路，即,t=0,时将,S,闭合、电路与恒压源接通，给电容充电。,全响应方程,全响应等于强制分量和自由分量之和,全响应还可以改写成,全响应是零输入响应和零状态响应之和,4.4.2,三要素法,一阶电路过渡过程通解的一般表达式为,表示电路中的电压或电流,表示换路后电路中电压或电流的初始值,表示换路后电压或电流的稳态值,和,三个量称为一阶电路的三要素，由三要素直接求得电路完全,解的方法称为,三要素法。,【,例,4-4】,如图所示电路中，已知,U=12V,，,R1=R2=10K,，,C=1000pF,。开关闭合,前电路处于零状态,uC(0-)=0,。求开关闭合后的电容电压,uC,和电路电流,iC,、,iR,与,i,。,解：本题求零状态响应，虽有三个未知量，但也不需要解联立方程组，关键是确,定出各支路响应的初始值及稳态值。,t=0+,瞬间、,uC(0+)=uC(0-)=0,，,R,2,被短路，整个电,路相当于,R,1,C,串联,t=,时，,C,相当于开路元件，电路相当于,R,1,、,R,2,串,联电路,电阻,R2,支路的电压响应,电容支路的电流响应,电阻,R2,支路的电流响应,据,KCL,，有,1.,在对含有储能元件的电路进行分析时，电容有时可看成开路，有时却又看成短,路，电感也有同样情况，为什么？,2.,在一阶电路全响应中，由于零输入响应仅由元件初始储能产生，所以零输入响,应就是暂态响应。而零状态响应是由外界激励引起的所以零状态响响应就是稳,态响应。这种说法对吗？,3.,一阶电路的时间常数是由电路的结构形式决定的，对吗？,【,思考题,】,本章小结,引起电路稳定状态改变的电路变化，称为换路。换路定理：设,t=0,时电路发生换路,1.,过渡过程,电路从一个稳定的状态变化到另一个稳定状态的过程，称为过渡过程。,对于电容有：,即电容电压不能跃变,2.,换路定理,对于电感有：即电感电流不能跃变,利用换路定理，求出,t=0,时的电容电压、电感电流，再利用电路的基本定律，求出电,路中其他变量的初始值。电路在发生换路时，如初始值和稳态不相等，电路就会发,生瞬时过程，电压和电流按指数规律由初始值过渡到稳态值，根据初始值和稳态值,大小的不同，它们可以是指数增长也可以是指数衰减。,3.,初始值的确定：,4.,在时间域内求解电路的过渡方程的方法称为电路的时域分析法。,（,1,）利用基尔霍夫定律列出换路后待求量的微分方程；,（,2,）求待求量的稳态分量；,（,3,）求待求量的暂态分量；,（,4,）确定积分常数；,（,5,）确定时间常数，从而得到待求量的完全解。,在时域中借助微分方程分析电路的瞬态过程的方法成为经典法。,利用经典法求解电路的瞬态过程的一般步骤是：,一阶线性电路的暂态过程的一般形式为,5.,三要素法：,其中,待求量,待求量的稳态值,待求量的初始值,电路的时间常数,