教育专题：411圆的标准方程

,4,1.1,圆,的,标,准,方,程,4.1,圆的方程,新知全景扫描,案例全程导航,训练全程跟踪,4,1.1,圆的标准方程,1,圆的标准方程,圆心半径,圆的标准方程,(,a,，,b,),r,(0,0),r,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,x,2,y,2,r,2,(2),写出下列方程的圆心和半径,x,2,y,2,4,；,(,x,2),2,(,y,1),2,6,；,(,x,4),2,y,2,16,；,x,2,(,y,3),2,m,2,.,2,ABC,外接圆的圆心是,ABC,的,，即,ABC,的三边,的交点,外心,垂直平分线,三角形的外接圆是惟一的吗？,提示：,因为不同在一条直线的三点可以确定一个圆，所以三角形有惟一的外接圆,探究点一,确定圆的标准方程,1.,圆的标准方程中有三个参数,a,，,b,，,r,，实数对,(,a,，,b,),是圆心的坐标，确定圆的位置；正数,r,表示圆的半径，确定圆的大小，这三个参数体现了圆的几何性质,2,几种常见的圆的标准方程：,(1),单位圆：圆心在坐标原点上，半径为,1,的圆，方程为,x,2,y,2,1,；,(2),圆心在,x,轴上的圆：,b,0,，半径为,r,的圆，方程为,(,x,a,),2,y,2,r,2,；,(3),圆心在,y,轴上的圆：,a,0,，半径为,r,的圆，方程为,x,2,(,y,b,),2,r,2,；,(4),圆心在原点的圆：,a,0,，,b,0,，半径为,r,的圆，方程为,x,2,y,2,r,2,；,(5),过坐标原点的圆：圆心为,(,a,，,b,),，半径,r,的圆，方程为,(,x,a,),2,(,y,b,),2,a,2,b,2,.,3,确定圆的标准方程常用的方法：,(1),几何法：已知,(,或求出,),圆心坐标和半径大小，然后代入圆的标准方程,(2),待定系数法：,根据题意，设所求的圆的标准方程为：,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,；,根据已知条件，建立,a,，,b,，,r,的方程组；,解方程组，求出,a,，,b,，,r,的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程,已知一个圆经过两个点,A,(2,，,3),和,B,(,2,，,5),，且圆心在直线,l,：,x,2,y,3,0,上，求此圆的方程,提示,解答本题可用待定系数法，这是通性通法，也可用平面几何的性质，利用弦的垂直平分线经过圆心等列方程来解决,1,求适合下列条件的圆的标准方程：,(1),经过两点,A,(,1,4),，,B,(3,2),，且圆心在,y,轴上；,(2),圆心在,x,轴上，半径为,5,，且过点,A,(2,，,3),(2),设圆心在,x,轴上，半径为,5,的圆的标准方程为,(,x,a,),2,y,2,5,2,.,点,A,在圆上，,(2,a,),2,(,3),2,25.,a,2,或,a,6.,故所求圆的标准方程为,(,x,2),2,y,2,25,或,(,x,6),2,y,2,25.,探究点二,点与圆的位置关系,在坐标平面上确立一个圆之后，平面上的点被圆分成三个部分，即圆上的点，圆内的点及圆外的点，判断点与圆的这三种位置关系可有两种方法,(1),将所给的点,M,到圆心,C,的距离与半径,r,比较：,若,|,CM,|,r,，则点,M,在圆,C,上；,若,|,CM,|,r,，则点,M,在圆外；,若,|,CM,|,r,，则点,M,在圆内,(2),可利用圆的标准方程来确定：,点,M,(,m,，,n,),在圆,C,上,(,m,a,),2,(,n,b,),2,r,2,；,点,M,(,m,，,n,),在圆,C,外,(,m,a,),2,(,n,b,),2,r,2,；,点,M,(,m,，,n,),在圆,C,内,(,m,a,),2,(,n,b,),2,r,2,.,已知点,(1,1),在圆,(,x,a,),2,(,y,a,),2,4,的内部，求实数,a,的取值范围,提示,可以利用点,(1,1),与圆心,(,a,，,a,),的距离和半径,2,进行比较，还可以将点,(1,1),代入圆的方程求解,有一种大型商品，,A,，,B,两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后往家里运的费用是：每千米,A,地的运费是,B,地运费的,3,倍已知,A,，,B,两地距离,10,千米，顾客选择,A,地或,B,地购买这件商品的标准是包括运费和价格的总费用较低当,P,地居民选择,A,地或,B,地购货的总费用相等时，求点,P,所在曲线的形状,点评,把实际问题转化为几何问题来解决，体现了数形结合思想和转化思想的应用本题构思独特，建系巧妙，是一种优秀解法,点击进入训,练全程跟踪,