矩形的性质-公开课一等奖课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,18.2.1,矩 形,第十八章 平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第,1,课时 矩形的性质,学习目标,1.,理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别,与,联系,.,（重点）,2.,会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问,题,.,（,重点、,难点）,3.,掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用,.,（重点）,观察下面图形,长方形,在,生活中无处不在,.,导入新课,情景引入,思考,长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？,你还能举出其他的例子吗？,讲授新课,矩形的性质,一,活动,1,：,利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察,.,矩形,平行四边形,矩形,有一个角,是直角,矩形是特殊的平行四边形,.,定义：,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,.,也叫做长方形,.,归纳总结,平行四边形不一定是矩形,.,思考,因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？,可以从边，角，对角线等方面来考虑,.,活动,2,：,准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等,.,（,1,）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果,.,A,B,C,D,O,AB,AD,AC,BD,BAD,ADC,AOD,AOB,橡皮擦,课本,桌子,物体,测量,（实物）,（形象图）,（,2,）,根据测量的结果,你有什么猜想？,猜想,1,矩形的四个角都是直角,.,猜想,2,矩形的对角线相等,.,你能证明吗？,证明：四边形,ABCD,是矩形,B,=,D,C,=,A,ABDC,.,B,+,C,=180.,又,B,= 90,C,= 90.,B,=,C,=,D,=,A,=90.,如图,四边形,ABCD,是矩形,B,=90.,求证,：,B,=,C,=,D,=,A,=90,.,A,B,C,D,证一证,证明：,四边形,ABCD,是矩形,AB,=,DC,ABC,=,DCB,=90,在,ABC,和,DCB,中,AB,=,DC,ABC,=,DCB,BC,=,CB,ABC,DCB,.,AC,=,DB,.,A,B,C,D,O,如图,四边形,ABCD,是矩形,ABC,=90,对角线,AC,与,DB,相交于点,O,.,求证,：,AC,=,DB,.,矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：,矩形的四个角都是直角,.,矩形的对角线相等,.,归纳总结,几何语言描述：,在矩形,ABCD,中，,对角线,AC,与,DB,相交于点,O,.,ABC,=,BCD,=,CDA,=,DAB,=90,，,AC,=,DB,.,A,B,C,D,O,例,1,如图,在矩形,ABCD,中,两条对角线,AC,BD,相交于点,O,AOB,=60,AB,=4,求矩形对角线的长,.,解：四边形,ABCD,是矩形,.,AC,=,BD,，,OA,=,OC,=,AC,OB,=,OD,=,BD,OA,=,OB,.,又,AOB,=60,OAB,是等边三角形，,OA,=,AB,=4,，,AC,=,BD,=2,OA,=8.,A,B,C,D,O,典例精析,矩形的对角线相等且互相平分,例,2,如图,在矩形,ABCD,中,E,是,BC,上一点,AE,=,AD,DF,AE,垂足为,F,.,求证：,DF,=,DC,.,A,B,C,D,E,F,证明：连接,DE,.,AD,=,AE,AED,=,ADE,.,四边形,ABCD,是矩形,ADBC,C,=90.,ADE,=,DEC,DEC,=,AED,.,又,DF,AE, ,DFE,=,C,=90.,又,DE,=,DE,DFE,DCE,DF,=,DC,.,例,3,如图，将矩形,ABCD,沿着直线,BD,折叠，使点,C,落在,C,处，,BC,交,AD,于点,E,，,AD,8,，,AB,4,，求,BED,的面积,解：,四边形,ABCD,是矩形，,AD,BC,，,A,90,，,2,3.,又由折叠知,1,2,，,1,3,，,BE,DE,.,设,BE,DE,x,，则,AE,8,x,.,在,Rt,ABE,中，,AB,2,AE,2,BE,2,，,4,2,(8,x,),2,x,2,，,解得,x,5,，即,DE,5.,S,BED,DE,AB,54,10.,矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查,思考,请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考,.,矩形是不是轴对称图形,?,如果是,那么对称轴有几条,?,矩形的性质：,对称性：,.,对称轴：,.,轴对称图形,2,条,练一练,1.,如图，在矩形,ABCD,中，对角线,AC,，,BD,交于点,O,，,下列说法错误的是 （）,A,AB,DC,B,AC,=,BD,C,AC,BD,D,OA,=,OB,A,B,C,D,O,C,2.,如图，,EF,过矩形,ABCD,对角线的交点,O,，且分别交,AB,、,CD,于,E,、,F,，那么阴影部分的面积是矩形,ABCD,面积的,_.,3.,如图，在矩形,ABCD,中，,AE,BD,于,E,，,DAE,：,BAE,3,：,1,，求,BAE,和,EAO,的度数,解：,四边形,ABCD,是矩形，,DAB,90,，,AO,AC,，,BO,BD,，,AC,BD,，,BAE,DAE,90,，,AO,BO,.,又,DAE,：,BAE,3,：,1,，,BAE,22.5,，,DAE,67.5.,AE,BD,，,ABE,90,BAE,90,22.5,67.5,，,OAB,ABE,67.5,EAO,67.5,22.5,45.,直角三角形斜边上的中线的性质,二,A,B,C,D,O,活动：,如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线,AC,剪去一半,.,B,C,O,A,问题,Rt,ABC,中，,BO,是一条怎样的线段？,它的长度与斜边,AC,有什么关系？,猜想：,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,.,试给出数学证明,.,O,C,B,A,D,证明,:,延长,BO,至,D,使,OD,=,BO,连接,AD,、,DC,.,AO,=,OC,BO,=,OD,，,四边形,ABCD,是平行四边形,.,ABC,=90,平行四边形,ABCD,是矩形，,AC,=,BD,，,如图，在,Rt,ABC,中，,ABC,=90,，,BO,是,AC,上的中线,.,求证,:,BO,=,AC,?,BO,=,BD,=,AC,.,1.,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,.,性质,证一证,例,4,如图，在,ABC,中，,AD,是高，,E,、,F,分别是,AB,、,AC,的中点,(1),若,AB,10,，,AC,8,，求四边形,AEDF,的周长；,解：,AD,是,ABC,的高，,E,、,F,分别是,AB,、,AC,的中点，,DE,AE,AB,10,5,，,DF,AF,AC,8,4,，,四边形,AEDF,的周长,AE,DE,DF,AF,5,5,4,4,18,；,典例精析,(2),求证：,EF,垂直平分,AD,.,证明：,DE,AE,，,DF,AF,，,E,、,F,在线段,AD,的垂直平分线上，,EF,垂直平分,AD,.,当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解,归纳,例,5,如图，已知,BD,，,CE,是,ABC,不同边上的高，点,G,，,F,分别是,BC,，,DE,的中点，试说明,GF,DE,.,解：连接,EG,，,DG,.,BD,，,CE,是,ABC,的高，,BDC,BEC,90.,点,G,是,BC,的中点，,EG,BC,，,DG,BC,.,EG,DG,.,又,点,F,是,DE,的中点，,GF,DE,.,在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题,归纳,如图，在,ABC,中,ABC,= 90,BD,是斜边,AC,上的中线,.,(1),若,BD,=3cm,则,AC,=_cm;,(2),若,C,= 30 ,AB,= 5cm,则,AC,=_cm,BD,=,_cm.,A,B,C,D,6,10,5,练一练,当堂练习,1.,矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是,( ),A.,对角线相等,B.,对边相等,C.,对角相等,D.,对角线互相平分,2.,若直角三角形的两条直角边分别,5,和,12,则斜边上的中线长为,( ),A.13 B.6 C.6.5 D.,不能确定,3.,若矩形的一条对角线与一边的夹角为,40,则两条对角线相交的锐角是,( ),A.20 B.40 C.80 D.10,A,C,C,4.,如图，在矩形,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，点,E,、,F,分别是,AO,、,AD,的中点，若,AB,=6cm，,BC,=8cm，则,EF,=,_,cm,2.5,5.,如图，,ABC,中，,E,在,AC,上，且,BE,AC,D,为,AB,中点，若,DE,=5，,AE,=8，则,BE,的长为,_,6,第,4,题图,第,5,题图,6.,如图,四边形,ABCD,是矩形,对角线,AC,BD,相交于点,O,BEAC,交,DC,的延长线于点,E,.,（,1,）求证：,BD,=,BE,（,2,）若,DBC,=30 ,BO,=4 ,求四边形,ABED,的面积,.,A,B,C,D,O,E,(1),证明：四边形,ABCD,是矩形,AC,=,BD,ABCD,.,又,BEAC,四边形,ABEC,是平行四边形,AC,=,BE,BD,=,BE,.,(2),解：,在矩形,ABCD,中,BO,=4,BD,= 2,BO,=24=8.,DBC,=30,CD,=,BD,= 8=4,AB,=,CD,=4,DE,=,CD,+,CE,=,CD,+,AB,=8.,在,Rt,BCD,中,BC,=,四边形,ABED,的面积,= (4+8) = .,A,B,C,D,O,E,7.,如图，在矩形,ABCD,中，,AB,=6，,AD,=8，,P,是,AD,上的动点，,PE,AC,，,PF,BD,于,F,，求,PE,+,PF,的值,.,解：连接,OP,.,四边形,ABCD,是矩形，,DAB,=90，,OA,=,OD,=,OC,=,OB,，,S,AOD,=,S,DOC,=,S,AOB,=,S,BOC,=,S,矩形,ABCD,= 68=12,.,在Rt,BAD,中，由勾股定理得,BD,=10，,AO,=,OD,=5，,S,APO,+,S,DPO,=,S,AOD,，,AO,PE,+,DO,PF,=12，即5,PE,+5,PF,=24，,PE,+,PF,=,.,能力提升：,课堂小结,矩形的相关概念及性质,具有平行四边行的一切性质,四个内角都是直角，,两条对角线互相平分且相等,轴对称图形,有两条对称轴,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,17.2,勾股定理的逆定理,第十七章 勾股定理,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第,1,课时 勾股定理的逆定理,学习目标,1.,掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定,理的概念、关系及勾股数,.,（重点）,2,.,能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆,定理判断一个三角形是直角三角形,.,（难点）,导入新课,B,C,A,问题,1,勾股定理的内容是什么,?,如果直角三角形的两条直角边长分别为,a,b,斜边为,c,那么,a,2,+,b,2,=,c,2,.,b,c,a,问题,2,求以线段,a,、,b,为直角边的直角三角形的斜边,c,的长：,a,3,，,b,4,；,a,2.5,，,b,6,；,a,4,，,b,7.5.,c,=5,c,=6.5,c,=8.5,复习引入,思考,以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？,同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗,?,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,（,6,）,（,7,）,（,8,）,（,13,）,（,12,）,（,11,）,（,10,）,（,9,）,打,13,个等距的结,把一根绳子分成等长的,12,段,然后以,3,段，,4,段，,5,段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是,直角,.,情景引入,思考：,从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为,3,4,5,那么这个三角形为直角三角形,.,按照这种做法真能得到一个直角三角形吗,?,大禹治水,相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角,.,讲授新课,勾股定理的逆定理,一,下面有三组数分别是一个三角形的三边长,a,b,c,:,5,12,13; 7,24,25; 8,15,17.,问题,分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？,是,下面有三组数分别是一个三角形的三边长,a,b,c,:,5,12,13; 7,24,25; 8,15,17.,问题,2,这三组数在数量关系上有什么相同点？,5,12,13,满足,5,2,+12,2,=13,2, 7,24,25,满足,7,2,+24,2,=25,2, 8,15,17,满足,8,2,+15,2,=17,2,.,问题,3,古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？,3,2,+4,2,=5,2,，,满足,.,a,2,+,b,2,=,c,2,我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差,.,我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体,.,问题,3,据此你有什么猜想呢,?,由上面几个例子，我们猜想：,命题,2,如果三角形的三边长,a,b,c,满足,a,2,+,b,2,=,c,2,那么这个三角形是直角三角形,.,ABC,ABC,？,C,是直角,ABC,是直角三角形,A,B,C,a,b,c,已知：如图，,ABC,的三边长,a,，,b,，,c,，满足,a,2,+,b,2,=,c,2,求证：,ABC,是直角三角形,构造两直角边分别为,a,b,的,Rt,ABC,证一证,:,证明：作,Rt,ABC,，使,C,=90,，,AC,=,b,，,BC,=,a,，,ABC,ABC,(SSS),，,C=,C,=90,，,即,ABC,是直角三角形,.,则,A,C,a,B,b,c,勾股定理的逆定理,:,如果三角形的三边长,a,、,b,、,c,满足,a,2,+,b,2,=,c,2,那么这个三角形是直角三角形,.,A,C,B,a,b,c,勾股定理的逆定理是直角三角形的,判定定理,，即已知三角形的三边长，且满足两条,较小边,的平方和等于,最长边,的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，,最长边所对应的角为直角,.,特别说明：,归纳总结,例,1,下面以,a,b,c,为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？,(1),a,=15,，,b,=8,，,c,=17;,解：,(1)15,2,+8,2,=289,，,17,2,=289,，,15,2,+8,2,=17,2,，,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，,且,C,是直角,.,(2),a,=13,，,b,=14,，,c,=15.,(2)13,2,+14,2,=365,，,15,2,=225,，,13,2,+14,2,15,2,，不符合勾股定理的逆定理，,这个三角形不是直角三角形,.,根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方,.,归纳,【变式题,1,】,若,ABC,的三边,a,b,c,满足,a,:,b,:,c,=3:4:5,，是判断,ABC,的形状,.,解：设,a,=3,k,b,=4,k,c,=5,k,(,k,0),(3,k,),2,+(4,k,),2,=25,k,2,(5,k,),2,=25,k,2,(3,k,),2,+(4,k,),2,=(5,k,),2,ABC,是直角三角形，且,C,是直角,.,已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形,.,如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形,.,归纳,【变式题,2,】,(1),若,ABC,的三边,a,b,c,，且,a,+,b,=4,ab,=1,c,=,，试说明,ABC,是直角三角形,.,解：,a,+,b,=4,ab,=1,a,2,+,b,2,=(,a,+,b,),2,-2,ab,=16-2=14.,又,c,2,=14,a,2,+,b,2,=,c,2,ABC,是直角三角形,.,(2),若,ABC,的三边,a,b,c,满足,a,2,+,b,2,+,c,2,+50=6,a,+8,b,+10,c,.,试判断,ABC,的形状,.,解：,a,2,+,b,2,+,c,2,+50=6,a,+8,b,+10,c,，,a,2,6,a,+,9+,b,2,8,b,+,16+,c,2,10,c,+,2,5=,0.,即,(,a,3),+,(,b,4),+,(,c,5),=,0.,a,=3,b,=4,c,=5,，,即,a,2,+,b,2,=,c,2,.,ABC,是直角三角形,.,例,2,如图，,在正方形,ABCD,中，,F,是,CD,的中点，,E,为,BC,上一点，且,CE,CB,，试判断,AF,与,EF,的位置关系，并说明理由,解：,AF,EF,.理由如下：,设正方形的边长为4,a,则,EC,a,，,BE,3,a,，,CF,DF,2,a,.,在Rt,ABE,中，得,AE,2,AB,2,BE,2,16,a,2,9,a,2,25,a,2,.,在Rt,CEF,中，得,EF,2,CE,2,CF,2,a,2,4,a,2,5,a,2,.,在Rt,ADF,中，得,AF,2,AD,2,DF,2,16,a,2,4,a,2,20,a,2,.,在,AEF,中，,AE,2,EF,2,AF,2,，,AEF,为直角三角形，且,AE,为斜边,AFE,90，即,AF,EF,.,练一练,1.,下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）,A2，3，4 B3，4，6,C5，12，13 D4，6，7,C,2.,一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （）,A,4,B,3,C,2.5,D,2.4,D,3.,若,ABC,的三边,a,、,b,、,c,满足,(,a,-,b,)(,a,2,+,b,2,-,c,2,)=0,，则,ABC,是,_.,等腰三角形或直角三角形,如果三角形的三边长,a,，,b,，,c,满足,a,2,+,b,2,=,c,2,那么这个三角形是直角三角形,.,满足,a,2,+,b,2,=,c,2,的三个正整数，称为,勾股数,.,勾股数,二,概念学习,常见勾股数：,3,，,4,，,5,；,5,，,12,，,13,；,6,，,8,，,10,；,7,，,24,，,25,；,8,，,15,，,17,；,9,，,40,，,41,；,10,，,24,，,26,等等,.,勾股数拓展性质：,一组勾股数，都扩大相同倍数,k,(,k,为正整数,),，得到一组新数，这组数同样是勾股数,.,下列各组数是勾股数的是,(,),A.6,，,8,，,10 B.7,，,8,，,9,C.0.3,，,0.4,，,0.5 D.5,2,，,12,2,，,13,2,A,方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可,.,练一练,命题,1,如果直角三角形的两条直角边长分别为,a,b,斜边为,c,那么,a,2,+,b,2,=,c,2,.,命题,2,如果三角形的三边长,a,、,b,、,c,满足,a,2,+,b,2,=,c,2,那么这个三角形是直角三角形,.,前面我们学习了两个命题，分别为：,互逆命题与互逆定理,三,命题,1,：,直角三角形,a,2,+b,2,=c,2,命题,2,：,直角三角形,a,2,+b,2,=c,2,题设,结论,它们是,题设和结论正好相反的两个命题,.,问题,1,两个命题的条件和结论分别是什么？,问题,2,两个命题的条件和结论有何联系？,一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个,定理,的逆命题经过,证明,是,正确,的，那么它也是一个,定理,，我们称这两个定理,互为逆定理,.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理,.,题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做,原命题,，另一个叫做原命题的,逆命题,.,归纳总结,说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？,(1),两条直线平行，内错角相等；,(2),如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；,(3),全等三角形的对应角相等；,(4),在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上,.,内错角相等，两条直线平行,.,如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等,.,对应角相等的三角形全等,.,在角平分线上的点到角的两边距离相等,.,成立,不成立,不成立,成立,练一练,当堂练习,1.,下列各组数是勾股数的是,( ),A.3,，,4,，,7 B.5,，,12,，,13,C.1.5,，,2,，,2.5 D.1,，,3,，,5,将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到,的三角形,( ),A.,是直角三角形,B.,可能是锐角三角形,C.,可能是钝角三角形,D.,不可能是直角三角形,B,A,3.,在,ABC,中,，,A,B,C,的对边分别,a,b,c.,若,C-,B=,A,则,ABC,是直角三角形；,若,c,2,=b,2,-a,2,则,ABC,是直角三角形,且,C=,90,；,若,(,c,+,a,)(,c,-,a,)=,b,2,则,ABC,是直角三角形,;,若,A,：,B,：,C=,5,：,2,：,3,，,则,ABC,是直角三角形,.,以上命题中的假命题个数是（ ）,A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,A,4.,已知,a,、,b,、,c,是,ABC,三边的长，且满足关系式,，则,ABC,的形状是,_,等腰直角三角形,5.(1),一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是,_,cm,;,12,(2),“等腰三角形两底角相等”的逆定理为,_,有两个角相等的三角形是等腰三角形,6.,已知,ABC,，,AB=n-,1,，,BC=,2,n,，,AC=n+,1(,n,为大,于,1,的正整数,).,试问,ABC,是直角三角形吗？若是，,哪一条边所对的角是直角？请说明理由,.,解：,AB+BC=,(,n,-1)+(2,n,),=,n,4,-2,n,+1+4,n,=,n,4,+2,n,+1,=(,n,+1),=,AC,，,ABC,直角三角形，边,AC,所对的角是直角,.,7.,如图，在四边形,ABCD,中，,AB,=8,，,BC,=6,，,AC,=10,，,AD,=,CD,= ,求四边形,ABCD,的面积,., ,ABC,是直角三角形且,B,是直角,., ,ADC,是直角三角形且,D,是直角，, ,S,四边形,ABCD,=,课堂小结,勾股定理,的逆定理,内容,作用,从三边数量关系判定一个三角形是,否是直角形三角形,.,如果三角形的三边长,a,、,b,、,c,满足,a,2,+,b,2,=,c,2,，那么这个三角形是直角三角形,.,注意,最长边不一定是,c,，,C,也不一定是直角,.,勾股数一定是正整数,17.2,勾股定理的逆定理,第十七章 勾股定理,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第,1,课时 勾股定理的逆定理,学习目标,1.,掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定,理的概念、关系及勾股数,.,（重点）,2,.,能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆,定理判断一个三角形是直角三角形,.,（难点）,导入新课,B,C,A,问题,1,勾股定理的内容是什么,?,如果直角三角形的两条直角边长分别为,a,b,斜边为,c,那么,a,2,+,b,2,=,c,2,.,b,c,a,问题,2,求以线段,a,、,b,为直角边的直角三角形的斜边,c,的长：,a,3,，,b,4,；,a,2.5,，,b,6,；,a,4,，,b,7.5.,c,=5,c,=6.5,c,=8.5,复习引入,思考,以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？,同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗,?,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,（,6,）,（,7,）,（,8,）,（,13,）,（,12,）,（,11,）,（,10,）,（,9,）,打,13,个等距的结,把一根绳子分成等长的,12,段,然后以,3,段，,4,段，,5,段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是,直角,.,情景引入,思考：,从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为,3,4,5,那么这个三角形为直角三角形,.,按照这种做法真能得到一个直角三角形吗,?,大禹治水,相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角,.,讲授新课,勾股定理的逆定理,一,下面有三组数分别是一个三角形的三边长,a,b,c,:,5,12,13; 7,24,25; 8,15,17.,问题,分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？,是,下面有三组数分别是一个三角形的三边长,a,b,c,:,5,12,13; 7,24,25; 8,15,17.,问题,2,这三组数在数量关系上有什么相同点？,5,12,13,满足,5,2,+12,2,=13,2, 7,24,25,满足,7,2,+24,2,=25,2, 8,15,17,满足,8,2,+15,2,=17,2,.,问题,3,古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？,3,2,+4,2,=5,2,，,满足,.,a,2,+,b,2,=,c,2,我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差,.,我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体,.,问题,3,据此你有什么猜想呢,?,由上面几个例子，我们猜想：,命题,2,如果三角形的三边长,a,b,c,满足,a,2,+,b,2,=,c,2,那么这个三角形是直角三角形,.,ABC,ABC,？,C,是直角,ABC,是直角三角形,A,B,C,a,b,c,已知：如图，,ABC,的三边长,a,，,b,，,c,，满足,a,2,+,b,2,=,c,2,求证：,ABC,是直角三角形,构造两直角边分别为,a,b,的,Rt,ABC,证一证,:,证明：作,Rt,ABC,，使,C,=90,，,AC,=,b,，,BC,=,a,，,ABC,ABC,(SSS),，,C=,C,=90,，,即,ABC,是直角三角形,.,则,A,C,a,B,b,c,勾股定理的逆定理,:,如果三角形的三边长,a,、,b,、,c,满足,a,2,+,b,2,=,c,2,那么这个三角形是直角三角形,.,A,C,B,a,b,c,勾股定理的逆定理是直角三角形的,判定定理,，即已知三角形的三边长，且满足两条,较小边,的平方和等于,最长边,的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，,最长边所对应的角为直角,.,特别说明：,归纳总结,例,1,下面以,a,b,c,为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？,(1),a,=15,，,b,=8,，,c,=17;,解：,(1)15,2,+8,2,=289,，,17,2,=289,，,15,2,+8,2,=17,2,，,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，,且,C,是直角,.,(2),a,=13,，,b,=14,，,c,=15.,(2)13,2,+14,2,=365,，,15,2,=225,，,13,2,+14,2,15,2,，不符合勾股定理的逆定理，,这个三角形不是直角三角形,.,根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方,.,归纳,【变式题,1,】,若,ABC,的三边,a,b,c,满足,a,:,b,:,c,=3:4:5,，是判断,ABC,的形状,.,解：设,a,=3,k,b,=4,k,c,=5,k,(,k,0),(3,k,),2,+(4,k,),2,=25,k,2,(5,k,),2,=25,k,2,(3,k,),2,+(4,k,),2,=(5,k,),2,ABC,是直角三角形，且,C,是直角,.,已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形,.,如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形,.,归纳,【变式题,2,】,(1),若,ABC,的三边,a,b,c,，且,a,+,b,=4,ab,=1,c,=,，试说明,ABC,是直角三角形,.,解：,a,+,b,=4,ab,=1,a,2,+,b,2,=(,a,+,b,),2,-2,ab,=16-2=14.,又,c,2,=14,a,2,+,b,2,=,c,2,ABC,是直角三角形,.,(2),若,ABC,的三边,a,b,c,满足,a,2,+,b,2,+,c,2,+50=6,a,+8,b,+10,c,.,试判断,ABC,的形状,.,解：,a,2,+,b,2,+,c,2,+50=6,a,+8,b,+10,c,，,a,2,6,a,+,9+,b,2,8,b,+,16+,c,2,10,c,+,2,5=,0.,即,(,a,3),+,(,b,4),+,(,c,5),=,0.,a,=3,b,=4,c,=5,，,即,a,2,+,b,2,=,c,2,.,ABC,是直角三角形,.,例,2,如图，,在正方形,ABCD,中，,F,是,CD,的中点，,E,为,BC,上一点，且,CE,CB,，试判断,AF,与,EF,的位置关系，并说明理由,解：,AF,EF,.理由如下：,设正方形的边长为4,a,则,EC,a,，,BE,3,a,，,CF,DF,2,a,.,在Rt,ABE,中，得,AE,2,AB,2,BE,2,16,a,2,9,a,2,25,a,2,.,在Rt,CEF,中，得,EF,2,CE,2,CF,2,a,2,4,a,2,5,a,2,.,在Rt,ADF,中，得,AF,2,AD,2,DF,2,16,a,2,4,a,2,20,a,2,.,在,AEF,中，,AE,2,EF,2,AF,2,，,AEF,为直角三角形，且,AE,为斜边,AFE,90，即,AF,EF,.,练一练,1.,下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）,A2，3，4 B3，4，6,C5，12，13 D4，6，7,C,2.,一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （）,A,4,B,3,C,2.5,D,2.4,D,3.,若,ABC,的三边,a,、,b,、,c,满足,(,a,-,b,)(,a,2,+,b,2,-,c,2,)=0,，则,ABC,是,_.,等腰三角形或直角三角形,如果三角形的三边长,a,，,b,，,c,满足,a,2,+,b,2,=,c,2,那么这个三角形是直角三角形,.,满足,a,2,+,b,2,=,c,2,的三个正整数，称为,勾股数,.,勾股数,二,概念学习,常见勾股数：,3,，,4,，,5,；,5,，,12,，,13,；,6,，,8,，,10,；,7,，,24,，,25,；,8,，,15,，,17,；,9,，,40,，,41,；,10,，,24,，,26,等等,.,勾股数拓展性质：,一组勾股数，都扩大相同倍数,k,(,k,为正整数,),，得到一组新数，这组数同样是勾股数,.,下列各组数是勾股数的是,(,),A.6,，,8,，,10 B.7,，,8,，,9,C.0.3,，,0.4,，,0.5 D.5,2,，,12,2,，,13,2,A,方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可,.,练一练,命题,1,如果直角三角形的两条直角边长分别为,a,b,斜边为,c,那么,a,2,+,b,2,=,c,2,.,命题,2,如果三角形的三边长,a,、,b,、,c,满足,a,2,+,b,2,=,c,2,那么这个三角形是直角三角形,.,前面我们学习了两个命题，分别为：,互逆命题与互逆定理,三,命题,1,：,直角三角形,a,2,+b,2,=c,2,命题,2,：,直角三角形,a,2,+b,2,=c,2,题设,结论,它们是,题设和结论正好相反的两个命题,.,问题,1,两个命题的条件和结论分别是什么？,问题,2,两个命题的条件和结论有何联系？,一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个,定理,的逆命题经过,证明,是,正确,的，那么它也是一个,定理,，我们称这两个定理,互为逆定理,.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理,.,题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做,原命题,，另一个叫做原命题的,逆命题,.,归纳总结,说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？,(1),两条直线平行，内错角相等；,(2),如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；,(3),全等三角形的对应角相等；,(4),在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上,.,内错角相等，两条直线平行,.,如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等,.,对应角相等的三角形全等,.,在角平分线上的点到角的两边距离相等,.,成立,不成立,不成立,成立,练一练,当堂练习,1.,下列各组数是勾股数的是,( ),A.3,，,4,，,7 B.5,，,12,，,13,C.1.5,，,2,，,2.5 D.1,，,3,，,5,将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到,的三角形,( ),A.,是直角三角形,B.,可能是锐角三角形,C.,可能是钝角三角形,D.,不可能是直角三角形,B,A,3.,在,ABC,中,，,A,B,C,的对边分别,a,b,c.,若,C-,B=,A,则,ABC,是直角三角形；,若,c,2,=b,2,-a,2,则,ABC,是直角三角形,且,C=,90,；,若,(,c,+,a,)(,c,-,a,)=,b,2,则,ABC,是直角三角形,;,若,A,：,B,：,C=,5,：,2,：,3,，,则,ABC,是直角三角形,.,以上命题中的假命题个数是（ ）,A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,A,4.,已知,a,、,b,、,c,是,ABC,三边的长，且满足关系式,，则,ABC,的形状是,_,等腰直角三角形,5.(1),一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是,_,cm,;,12,(2),“等腰三角形两底角相等”的逆定理为,_,有两个角相等的三角形是等腰三角形,6.,已知,ABC,，,AB=n-,1,，,BC=,2,n,，,AC=n+,1(,n,为大,于,1,的正整数,).,试问,ABC,是直角三角形吗？若是，,哪一条边所对的角是直角？请说明理由,.,解：,AB+BC=,(,n,-1)+(2,n,),=,n,4,-2,n,+1+4,n,=,n,4,+2,n,+1,=(,n,+1),=,AC,，,ABC,直角三角形，边,AC,所对的角是直角,.,7.,如图，在四边形,ABCD,中，,AB,=8,，,BC,=6,，,AC,=10,，,AD,=,CD,= ,求四边形,ABCD,的面积,., ,ABC,是直角三角形且,B,是直角,., ,ADC,是直角三角形且,D,是直角，, ,S,四边形,ABCD,=,课堂小结,勾股定理,的逆定理,内容,作用,从三边数量关系判定一个三角形是,否是直角形三角形,.,如果三角形的三边长,a,、,b,、,c,满足,a,2,+,b,2,=,c,2,，那么这个三角形是直角三角形,.,注意,最长边不一定是,c,，,C,也不一定是直角,.,勾股数一定是正整数,小魔方站作品 盗版必究,语文,更多精彩内容，微信扫描二维码获取,扫描二维码获取更多资源,谢谢您下载使用！,附赠 中高考状元学习方法,群星璀璨,-,近几年全国高考状元荟萃,前 言,高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。,青春风采,青春风采,北京市文科状元 阳光女孩,-,何旋,高考总分：,692,分,(,含,20,分加分,),语文,131,分 数学,145,分英语,141,分 文综,255,分,毕业学校：北京二中报考高校：,北京大学光华管理学院,来自北京二中，高考成绩,672,分，还有,20,分加分。,“,何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。,”,班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。,“,她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上,20,分的加分，她的成绩应该是,692,。,”,吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。,“,她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书,”,。,班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。,小魔方站作品 盗版必究,语文,更多精彩内容，微信扫描二维码获取,扫描二维码获取更多资源,谢谢您下载使用,！,附赠 中高考状元学习方法,群星璀璨,-,近几年全国高考状元荟萃,前 言,高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。,青春风采,青春风采,北京市文科状元 阳光女孩,-,何旋,高考总分：,692,分,(,含,20,分加分,),语文,131,分 数学,145,分英语,141,分 文综,255,分,毕业学校：北京二中报考高校：,北京大学光华管理学院,来自北京二中，高考成绩,672,分，还有,20,分加分。,“,何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。,”,班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。,“,她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上,20,分的加分，她的成绩应该是,692,。,”,吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。,“,她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书,”,。,班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。,高考总分,:711,分毕业学校,:,北京八中语文,139,分 数学,140,分,英语,141,分 理综,291,分,报考高校：,北京大学光华管理学院,北京市理科状元杨蕙心,