微分方程概要课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 微 分 方 程,6.1 微分方程的基本概念,6.2 一阶微分方程,6.3 可降阶的二阶微分方程,6.4 二阶线性微分方程,6.5 微分方程的应用举例,6.1 微分方程的基本概念6.2 一阶微分方程6,6.1 微分方程的基本概念,定义,例,偏微分方程 .,常微分方程,.,6.1 微分方程的基本概念定义例 偏微分方程 . 常微分方程,微分方程的,阶,:,微分方程中出现的未知函数的,最高,阶导数,的,阶,数称之为微分方程的,阶.,一阶,微分方程:,高阶,微分方程:,注意:,注意:,微分方程的阶: 微分方程中出现,线性,与,非线性,微分方程：,线性与非线性微分方程：,微分方程的解:,等式,的,函数,称之为微分方程的,解,.,代入微分方程能使方程成为,恒,微分方程的解: 等式的函数称之为微分方程的解. 代入微,微分方程的解的分类：,(1),通解,:,微分方程的解中含有,任意常数,且,独立,任,意常数的,个数,与微分方程的,阶数相同,.,(2),特解:,不包含任何任意常数的解.,微分方程的解的分类：(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,初值问题:,求微分方程满足初始条件的解的问题.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线,的斜率为定值的积分曲线.,初始条件:,用来确定任意常数的条件.,通解的图象:,微分方程的积分曲线族.,解的图象:,微分方程的积分曲线.,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.过定点的积分曲,解,解,所求特解为,所求特解为,注意：,注意：,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的,特,解.,思考题,思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.思考题,6.2 一阶微分方程,6.2 一阶微分方程,一. 可分离变量的微分方程,则称原微分方程为,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程,一. 可分离变量的微分方程则称原微分方程为可分离变量的微分方,解法：,称为所给可分离变量微分方程的,隐,函数形,式,的,通解.,解法：称为所给可分离变量微分方程的隐函数形式的通解.,例1,求微分方程,解,分离变量,两端积分,例1 求微分方程解分离变量两端积分,例2,解,例2 解,二. 齐 次 方 程,定义,的微分方程称为,齐次方程,.,二. 齐 次 方 程定义的微分方程称为齐次方程 .,解法:,令 ,代入原方程，得,可分离变量的微分方程 .,解法:令 ,代入原方程，得可分离,例 3,求解微分方程,微分方程的解为,解,例 3 求解微分方程微分方程的解为解,例 4,求解微分方程,解,微分方程的解为,例 4 求解微分方程解微分方程的解为,三. 一阶线性微分方程,一阶线性微分方程,的标准形式:,(1) 称为,齐次方程,.,(1) 称为,非齐次方程,.,例如,线性的,;,非线性的,.,三. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:(1) 称,1. 先求线性齐次方程 的通解：,一阶线性微分方程的解法,齐次方程的通解为,用分离变量法,1. 先求线性齐次方程,2. 再求线性非齐次方程 的通解：,讨论,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解,相比，不难看出：,2. 再求线性非齐次方程,只要在齐次方程的通解 中，,积分得,只要在齐次方程的通解,故一阶线性非齐次微分方程的通解为:,称为,常数变易法,.,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法，,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,故一阶线性非齐次微分方程的通解为:称为常数变易法 .,解,例1,解例1,例2,如图所示，平行于 轴的动直线被曲线,与 截下的线段,之长数值上等于阴,影部分的面积, 求曲线 .,解,两边求导得,例2 如图所示，平行于 轴的动直线被曲线,代入方程 ，得,故 所求曲线为,代入方程,伯努里(Bernoulli)方程的标准形式,方程为,线性微分方程,.,方程为,非线性微分方程,.,解法:,需经过变量代换化为线性微分方程.,四. 伯努里方程,（Bernoulli，1654-1705，瑞士）,伯努里(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程,代入上式, 得,代入上式, 得,解,例 3,解例 3,例4,用适当的变量代换解下列微分方程:,解,代入原方程，得,故 原方程的通解为,例4 用适当的变量代换解下列微分方程:解代入原方程，得,解,所求通解为,解所求通解为,1、分离变量法步骤:,1）分离变量;,2）两端积分-隐式通解.,小 结,2、齐次方程,3.线性非齐次方程,4.伯努里方程,1、分离变量法步骤:1）分离变量;2）两端积分-,6.3 可降阶的二阶微分方程,6.3 可降阶的二阶微分方程,解,解,微分方程概要课件,解,解,微分方程概要课件,例 3,解1,例 3解1,解2,解2,例 4,解1,解2,故通解为,例 4解1解2故通解为,解3,两边积分,得,故通解为,解3两边积分,得故通解为,6.4 二阶线性微分方程,二阶线性微分方程的一般形式,方程为,齐次方程,；,方程为,非齐次方程,.,n,阶线性微分方程,6.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式方程为齐次,一. 二阶线性微分方程解的性质与通解的结构,问题:,1.二阶齐次方程解的结构:,定理1,（齐次方程解的叠加原理）,一. 二阶线性微分方程解的性质与通解的结构问题:1.二阶齐次,证,代入方程（1）,的左端，得,证毕,证代入方程（1）的左端，得证毕,定义,例如,线性无关,.,线性相关,定义例如线性无关.线性相关,定理2,证明略,推论,例如：,线性无关,，,线性无关,，,线性无关,.,定理2证明略推论例如：线性无关，线性无关，线性无关 .,定理3,（齐次线性方程通解结构）,证,定理3（齐次线性方程通解结构）证,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,定理4,（非齐次线性方程通解的结构）,证,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:定理4（非齐次线性方程通解,微分方程概要课件,定理5,（非齐次方程解的叠加原理）,证明略,定理5（非齐次方程解的叠加原理）证明略,二. 二阶常系数线性齐次方程的解法,二阶常系数线性齐次方程的标准形式,二. 二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的标, 特征根法, 特征根法,1* 特征方程有两个不相等的实根,1* 特征方程有两个不相等的实根,2* 特征方程有两个相等的实根,此时，只得到方程 (1) 的一个特解,=0,=0,2* 特征方程有两个相等的实根此时，只得到方程 (1) 的一,3* 特征方程有一对共轭复根,3* 特征方程有一对共轭复根,微分方程概要课件,微分方程概要课件,解,特征方程为,解得特征根,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得特征根,故所求通解为,例2,解特征方程为解得特征根故所求通解为例1解特征方程为解得特征根,解,解,二阶常系数,线性,非齐次方程,对应齐次方程,非齐次方程通解结构,关键,：,方法,：,待定系数法.,三. 二阶常系数线性非齐次方程的解法,二阶常系数线性非齐次方程对应齐次方程非齐次方程通解结构关键：,代入原方程得,代入原方程得,综上所述,综上所述,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程, 得,故 原方程通解为,例1,解对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程, 得故 原方程,作辅助方程,作辅助方程,微分方程概要课件,注意：,注意：,解,作辅助方程,代入（*），得,例2,对应齐次方程的通解,（取虚部）,原方程的特解为,原方程通解为,解作辅助方程代入（*），得例2对应齐次方程的通解（取虚部）原,例3,解1,对应齐次方程的通解,作辅助方程,代入辅助方程，得,例3解1对应齐次方程的通解作辅助方程代入辅助方程，得,原方程的特解为,原方程通解为,（取实部）,原方程的特解为原方程通解为（取实部）,解2,对应齐次方程的通解,代入原方程，得,原方程的通解为,解2对应齐次方程的通解代入原方程，得原方程的通解为,6.5 微分方程的应用举例,解,6.5 微分方程的应用举例解,微分方程概要课件,解,解,特征根为,特征根为,解,解,微分方程概要课件,微分方程概要课件,解,解,特征方程,特征根,特征方程特征根,