第7章机械波课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,04 十月 2024,1,第7章机械波,什么是波？,1. 机械波,振动状态以一定速度在空间的传播就形成了波.,波的分类,机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波,.,产生条件,波源：作机械振动的物体,弹性介质：承担传播振动的物质,2. 电磁波,变化的电场和变化的磁场在空中的传播过程形成电磁波,.,3. 物质波,物质波,（也称概率波）,是微观粒子的一种属性，具有完全不同的性质，遵从量子力学理论,.,干涉、衍射,第7章 机 械 波,横波：质点振动方向与波的传播方向相,垂直,的波.,（仅在固体中传播 ）,特征：具有交替出现的波峰和波谷.,7.1 机械波,纵波：质点振动方向与波的传播方向互相,平行,的波.,（可在固体、液体和气体中传播）,特征：具有交替出现的密部和疏部.,水面波是什么波?,纵波与横波的合成,波线：,沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线,的指向表示波的传播方向。,波阵面：,在波动过程中，把振动相位相同的点连成的,面(简称波面),。,波前：,在任何时刻，最前方的波面即是波前。,平面波,波,线,波,阵,面,球面波,波阵,面,波,线,7.1.3 波的几何描述,7.1.4 波长、周期、频率和波速,波长,：沿波的传播方向，两个相邻的、振动状态完全相同的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.,O,y,A,A,-,周期,：波前进一个波长的距离所需要的时间.,频率,：即,单位时间内波动所传播的完整波的数目,.,波速,：波动过程中，某一振动状态单位时间内所传播的距离.,周期或频率只决定于波源的振动,纵、横波波速,固体中,纵波波速,横波波速,气、液中纵波波速,绳中横波波速,杨氏模量,质量密度,切变模量,容变,模量,张力,质量线密度,如声音的传播速度,空气，常温,左右，,混凝土,取决于,介质的弹性模量,和,密度,各质点相对平衡位置的,位移,波线上各质点,平衡,位置,7.2.1 平面简谐波的波函数,介质中任一质点（坐标为,x,）相对其平衡位置的位移（坐标为,y,）随时间的变化关系，即 称为波函数.,简谐波的波函数,7.2 平面简谐波,传播过程中各质元均做同频率、同振幅的简谐振动的平面波,点,O,的振动状态,点,P,t,时刻点,P,的运动,t-x/u,时刻点,O,的运动,以速度,u,沿,x,轴正向传播的平面简谐波 . 令原点,O,的初相为零，其振动方程,点,P,振动方程,时间推迟方法,沿X轴正方向传播的平面简谐波,点,O,振动方程,沿,轴,正,向,O,如果原点的初相位,不,为零,7.2.2 波函数的物理意义,(1),x,=,x,0,，给出,x,0,处质元振动方程,(2),t,=,t,0,，给出,t,0,时刻的波形图,(3),x,和,t,都在变化，表明各质点在不同时刻的位移分布,.,时刻,时刻,波速,u,也称作相速度,.,波程差,l,j,x,D,=,D,2,7.2.3 相位差与波程差（重要）,x,点相位滞后,x,0,x,x,y,u,沿X轴负方向传播的平面简谐波,x,0,t+,d,t,时刻,t,时刻,t+,d,t,时刻,t,时刻,沿,X轴正向,传播的波，此时两条曲线对比，曲线,上升,段各质点速度为,负；,曲线,下降,段各质点速度为,正。,沿,X轴负向,传播的波，,此时两条曲线对比，,曲线,上升,段各质点速度为,正,；,曲线,下降,段各质点速度为,负。,由波形曲线及传播方向判断波形图上各质点振动速度方向,例.,波形如图,先写 点振动方程,波动方程,（1）写出波动方程。,关键确定：,由图可知,解：（1）,（2）求,两处质点振动位相差。,解：,位相差,反位相,（3）各质点振动速度、加速度表达式,振动速度,振动加速度,（4）若图为 波形，,波动方程如何？,方法1：,将波形倒退 得出 波形，再写方程！,波形,方法2：,.,16,解：关键是求o点的初位相,例2,已知,t,= 0时的波形曲线为，波沿,Ox,方向传播，经,t,=1/2 s 后波形变为曲线。已知波的周期,T, 1 s，试根据图中给出的条件求出波的表达式，并求,A,点的振动方程,。,解：,波速：,y,/cm,x,/cm,1,2,3,4,5,6,1cm,A,O,原点的初位相和振动方程：,y,/cm,x,/cm,1,2,3,4,5,6,1cm,A,O,波动方程：,A,点振动方程：,补充： 波动微分方程,三维空间,或,沿 方向一维波动微分方程,、 电磁波,E,r,7.3.1 波动能量的传播,当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能.,同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能.,x,O,x,O,以固体棒中传播的,纵波,为例分析波动能量的传播.,7.3 机械波的能量,振动动能,x,O,x,O,平面简谐纵波在直棒中传播：,1.动能,长变杨氏模量,2.弹性势能,x,O,x,O,弹簧伸长 时弹簧的弹力：,弹性势能：,体积元的总机械能,体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.,体积元的位移最大时，三者均为零.,1）,在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随 作周期性变化，且变化是,同相位,的.,A,B,C,B,A,C,D,E,从波形图理解动能与势能同相变化,2）,任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式 .,能量密度,：单位体积介质中的波动能量.,平均,能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.,结论：,机械波的能量与,振幅的平方,、频率的平方以及介质的密度成正比,。,1、能流：,3、平均能流密度（波的强度）：,单位时间内垂直通过介质中某一面积的能量,。,单位面积上通过的平均能流,2、平均能流：,波的强度与振幅的平方成正比,7.3.2 能流和能流密度,1)平面波,S,1,S,2,A不变!,2)球面波,S,1,r,1,S,2,r,2,球面波表达式：,式中,a,为波在离原点单位距离处振幅的数值。,例,证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数.,证,介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等.,式中 为离开波源的距离， 为 处的振幅.,波在传播过程中，振幅越来越小，称为,波的衰减,。,7.3.3 波的吸收和衰减（选讲）,水波通过狭缝后的衍射,7.4 惠 更 斯 原 理,球 面 波,平 面 波,介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前.,7.4.1 惠更斯原理,O,波的衍射,水波通过狭缝后的衍射,波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.,7.4.2 波的衍射,N,界面,7.4.3 波的反射和折射,R,N,界面,I,L,用惠更斯原理证明.,2）,1）,反射线、入射线和界面的法线在同一平面内；,反射定律,i,i,i,A,1,A,2,A,3,B,2,B,3,B,1,N,N,A,I,d,时刻,t,B,2,B,3,B,1,N,N,A,I,B,L,时刻,t+,t,波的折射,用惠更斯原理证明.,时刻,t,i,i,i,A,1,A,2,A,3,B,2,B,3,B,1,N,N,A,I,d,1）,折射线、入射线和界面的法线在同一平面内；,2）,N,界面,R,N,界面,I,L,时刻,t+,t,B,2,B,3,B,1,N,N,A,I,B,R,i,i,i,A,1,A,2,A,3,B,2,B,3,B,1,N,N,A,I,d,时刻,t,时刻,t+,t,B,2,B,3,B,1,N,N,A,I,B,R,所以,7.5.1 波的叠加原理,7.5 波的干涉,几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征（频,率,、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.,在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.,7.5.1 波的叠加原理,频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波,相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为,波的干涉现象.,7.5.2 波的干涉,相干条件,*,波源振动,点,P,的两个分振动,常量,讨 论,1,),合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的.,其他,振动始终,加强,振动始终,减弱,2,),波程差,若 则,振动始终,减弱,振动始终,加强,其他,3,),讨 论,例1,如图所示，,A,、,B,两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为,5cm,，频率皆为,100Hz,，但当点,A,为波峰时，点,B,适为波谷.设波速为,10m/s,，试写出由,A,、,B,发出的两列波传到点,P,时干涉的结果.,解,15m,20m,A,B,P,设,A,的相位较,B,超前，则 .,点,P,合振幅,求：（1）它们连线上振动加强的位置及其合振幅？,由,取值在 之间,加强,例2.,设两相干波源 、,（2）延长线上合振动如何？,加强,两边延长线上合振动始终加强,（3）能否改变 使延长线上合振动减弱？,可以！,半波长的奇数倍即可。,解：,左边延长线上 点：,右边延长线上 点,：,加强,减弱,合振幅,合振幅,例3.,两相干波源 超前 ，,相距 ， 。讨论,延长线上干涉情况,驻 波 的 形 成,7.6.1 驻波的产生,振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿,相反,方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象.,7.6 驻波,为何要调节钢丝长度或砝码质量？,驻波的振幅与位置有关,7.6.2 驻波方程,正向,负向,各质点都在作同频率的简谐运动,驻波方程,讨论,1,0,波腹,波节,相邻,波腹（节）,间距,相邻波,腹,和波,节,间距,1）,振幅,随,x,而异， 与时间无关.,2）,相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在,波节,处产生,的,相位跃变,.（与行波不同，无相位的传播）.,为,波节,例,7.6.3 相位跃变,（半波损失）,当波从波疏介质垂直入射到波密介质， 被反射到波疏介质时形成,波节,. 入射波与反射波在此处的相位时时,相反, 即反射波在,分界处,产生 的相位,跃变,，相当于出现了半个波长的波程差，称,半波损失,.,波密,介质,较大,波疏介质,较小,当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质时形成,波腹,. 入射波与反射波在此处的相位时时,相同,，即反射波在分界处,不,产生相位,跃变,.,7.6.4 驻波的能量,驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播.,A,B,C,波节,波腹,位移最大时,平衡位置时,例 在弦线上有一简谐波，其表达式为：,为了在此弦线上形成驻波，并且在,x,= 0处为一波节，此弦上还应有一简谐波，求其表达式。,解：,反向波,因为,x,= 0处为波节,例：,m,M,1,M,2,O,1,O,2,A,B,P,m,M,1,M,2,O,1,O,2,A,B,P,例,如图, 一列沿,x,轴正向传播的简谐波方程为,(m),（1）,在,1,，,2,两种介质分界面上点,A,与坐标原点,O,相距,L,=2.25 m,.已知介质,2,的波阻大于介质,1,的波阻, 反射波与入射波的振幅相等, 求：,（1）,反射波方程;,（2）,驻波方程;,（3）,在,OA,之间波节和波腹的位置坐标.,y,L,O,A,x,1,2,解,（1）,设反射波方程为,（,2,）,由式,（,1,）,得,A,点的反射振动方程,（,3,）,y,L,O,A,x,1,2,由式,（,2,）,得,A,点的反射振动方程,（,4,）,由式,（,3）,和式,（,4）,得：,舍去,所以反射波方程为：,(m),（2）,（3）,令,令,得波节坐标,得波腹坐标,7.6.4 振动的简正模式,应满足 ， 由此频率,两端,固定,的弦线形成,驻,波时，波长 和弦线长,决定的各种振动方式称为弦线振动的,简正模式,.,两端,固定,的弦振动的简正模式,一端,固定,一端,自由,的弦振动的简正模式,频率,波速,基频,谐频,解 ：,弦两端为固定点，是,波节,.,千斤,码子,如图二胡弦长 ，张力 . 密度,讨论,. 求弦所发的声音的,基,频和,谐,频.,发射频率,接收频率,接收频率,单位时间内观测者接收到的振动次数或完整波数.,人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？,讨论,只有波源与观察者,相对静止,时才相等.,8.3 多 普 勒 效 应,8.3.1 机械波的多普勒效应,观察者接收的频率,观察者,向,波源运动,观察者,远离,波源,多普勒效应：,由于观察者或波源或两者同时相对介质运动，而使观察者接收到的频率与波源频率不同的现象,一 波源不动，观察者相对介质以速度 运动,二 观察者不动，波源相对介质以速度 运动,A,波源,向,观察者运动,观察者接收的频率,波源,远离,观察者,三 波源与观察者同时相对介质运动,若波源与观察者不沿二者连线运动,观察者,向,波源运动,+,，,远离,.,波源,向,观察者运动,，,远离,+,.,机械波只有纵向多普勒效应,解：,1）,例1,A,、,B,为两个汽笛，其频率皆为,500Hz,，,A,静止，,B,以,60m/s,的速率向右运动. 在两个汽笛之间有一观察者,O,，以,30m/s,的速度也向右运动. 已知空气中的声速为,330m/s,，求：,A,O,B,1）,观察者听到来自,A,的频率,2）,观察者听到来自,B,的频率,3）,观察者听到的拍频,3）,观察者听到的拍频,2）,例2,利用多普勒效应监测车速，固定波源发出频率为,的超声波，当汽车向波源行驶时，与波源安装在一起的接收器接收到从汽车反射回来的波的频率为 . 已知空气中的声速为 ，,求,车速 .,解 1）,车为接收器,2）,车为波源,车速,多普勒效应的,应用,可以测量运动物体的速度.,监测车辆行驶速度,测量血液流速,战机突破音障的瞬间,艏波,当 时，所有波前将聚集在一个圆锥面上，波的能量高度集中形成,冲击波,或,激波,，如核爆炸、超音速飞行等.,5）,卫星跟踪系统等.,1）,交通上测量车速；,2）,医学上用于测量血流速度；,3）,天文学家利用电磁波红移说明大爆炸理论；,4）,用于贵重物品、机密室的防盗系统；,多普勒效应的应用,8.3.1,光波的多普勒效应,当光源和接收器在同一直线上运动时，有：,当光源与接收器相互趋近时，分子取正，分母取负；,当光源与接收器相互远离时，分子取负，分母取正；,红移：,当光源远离接收器运动时，接收到的频率变小，因而波长,变长，在可见光谱中移向红色一端。,宇宙大爆炸学说：,理论根据就是观察到的其他星球光谱几乎都,发生红移。,例,解,求,一遥远的河外星系以很高的速率离开地球退行而去，其谱线发生红移,.,与固有频率,0,相对应的波长为,0,=,434 nm 的谱线，地面上观测记录的该谱线的波长,= 600,nm.,此河外星系的退行速率.,以,v,表示本题所求的退行速率，以,表示与波长,对应的频率，则有,0,=,c,/,0,和,=,c,/,，代入光的多普勒效应式，有,代入题给数据，解得,机械波的多普勒效应：,该结论对光波是不正确的,对于光波,（真空）,有,与空间有关,与时间有关,在相对论中，不同的惯性系中波长和频率将不同，但两者的乘积在真空情况下恒为,c.,为观察者实测到的光频率,0,为光源的固有频率,用狭义相对论可以导出光波的多普勒效应公式为,8.3.1,光,波的多普勒效应（选讲）,u,为观察者或光源运动的速度,为观察者与光源连线与速度之间的夹角,u,光源,观察者,*,推导,y,x,(,x,y,z,t,),(0,0,0,t*,),