3-5第五节 函数的极值与最大值最小值

,高等数学电子教案,武汉科技学院数理系,第五节 函数的极值与最大值最小值,定义 设函数,f(x),在点,x,0,之某,邻域内有定义,若对于该邻域,内的一切,x(x,0,除外,),恒有,x,y,.,f(x,0,)f(x)(,或,f(x,0,)f(x),则称,f(x),在点,x,0,处取得极大值,(,或极,小值,),把,x,0,点称为,f(x),的极大值点,(,或极小值点,),函数的极大值和极小值统称为极值,;,极大值点和极小,值点统称为极值点,由函数极值之定义可知,其概念是一个局部性的概念,.,函数在某区间内某一点取得极大值,(,或极小值,),在已给区,间内,函数可能取得多个极大值和极小值,.,在图中我们可,看到极值处的导数是水平的,即可导函数在极值点的导数,为,0.,定理,1(,必要条件,),若函数,f(x),在点,x,0,可导且取得极值,f(x,0,),则,f,(x,0,)=0,证明,:设,f(x,0,),为极大值,当正数,h,很小时,有,由于,f(x),在点,x,0,可导,有它左右极限相等,有,使,f(x,0,)=0,的点,x,0,称为函数,f(x),的,驻点,定理,1,说明如果函数可微,只能在驻点处取得极值,取得极值,的点称为极值点,.,还有是不可导的点,.,其他的点都不必考虑,.,但驻点不一定是极值点,例如,y=x,3,y,(0)=0,x=0,不是极值点,.,为了研究极值点我们研究定理,2,定理,2 (,第一充分条件,),设函数,f(x),在点,x,0,连续,且在,x,0,的某,一空心邻域,U,0,(x,0,),内可导,x U,0,(1),若,x0;xx,0,时,f,(x)0,则,f(x,0,),为极大值,.,(2)若,x 0,则,f(x,0,),为极小值,.,(3),若不论,xx,0,f,(x),都不变号,则,f(x,0,),不是极值,.,证明,:,我们只证明,(1),同理可证明,(2),(3).,由(1),的假设和定理,1知,f(x),在(,x,0,-,x,0,的邻域内递增,在,x,0,x,0,+),的邻域内递减,所以在,(,x,0,-,x,0,+),都有,f(x,0,)f(x),证明他是极大值,.,x,0,x,0,x,0,例2,求函数,f(x)=x,2,e,-x,的极值,.,解：,f,(x)=2xe,-x,-x,2,e,-x,=x(2-x)e,-x,令,f,(x)=0,得到,x=0,x=2,x=0,当,x0,时,f,(x)0,当0,x0,所以是极小值,f(0)=0,x=2,当0,x0,当,x2,时,f,(x)0,f(2)=4/e,2,是极大值,为了使我们容易判别极大值和极小值，现在研究定理,3,定理,3,（第二充分条件）设函数,f(x),在,x0,的某邻域内可,导,且,f(x0)=0,f”(x0),0.,(1),若,f”(x0)0,则,f(x0),是极小值,.,证明,:,我们只证明,(1),同理可以证明,(2),因为,因为,f,(x,0,)=0,当,x,(x,0,-,x,0,),时,f,(x)0,当,x,(x,0,x,0,+,),时,f,(x)0,当0|,x-x,0,|,时,有,f,(x)/(x-x,0,)0,二阶导数表示,切线的变化率,x,0,x,0,这里的记忆方法同曲线的凹凸性一样,上凸的必定是极大值,.,例3,求函数,的极值,解:,由于,x=0,是不可导点,它的二阶导数不存在,只好用第一判别法,.,为极小值,二 函数之最大值,最小值,函数的极值是局部性的,它是在某一个邻域内的函,数的最大,(小),值,例如极值,f(x,1,),在区间上它,f(x,1,),f(x,3,),f(x,4,),f(x,2,),x,1,x,2,x,3,x,4,y=f(x),x,y,不是最值,.,最值是函数在区间内的最大或最小的函数值,.,它,可能在区间内取到,(,此时它是极值,),也可能在边界上得到,(,此时它不一定是极值,).,在闭区间上的连续函数必定存在最大值和最小值,.-,闭,区间的性质,.,求函数在闭区间内的最值的步骤是,计算,f,(x),求出,(,a,b),内的所有驻点和不可导点,.,即找到全,部 可能极值点,.,(2),计算上述各点的函数值,.,比较上述函数值的大小,其中最大的是最大值,最小的,是最小值,例4,取函数 在,0,2,上的最大值和最小值,解:,及不可导的点,x=1,区间的端点,0,2,例5,从一块边长为,a,的正方形铁皮的四角上剪去同样,大小的小正方形,然后按虚线把四边折起来,组成无盖的,盒子,.,问要去多大的小方块使盒子的容积最大,?,a,x,x,解：,:,设剪去小方块,的边长为,x.,