第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性(1)(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四节 函数的单调性 与曲线的凹凸性,一、单调性的判别法,二、单调区间求法,六、小结,三、曲线凹凸的定义,五、曲线凹凸的判定,四、曲线的拐点及其求法,一、单调性的判别法,【,定理,】,【,证,】,应用拉氏定理,得,【,例,1,】,【,解,】,【,注意,】,函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,【,说明,】,定理中区间换成其它有限或无限区间，结论仍成立,.,【,例,2】,【,解,】,连续,如上图,【,问题,】,函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调单调区间的分界点怎么求呢？,二、单调区间求法,【,定义,】,若函数在其定义域的某个区间内是单,调的，则该区间称为函数的,单调区间,.,导数等于零的点,(,驻点,),和不可导点，,可能是单调区间的分界点,【,方法,】,【,可能分界点,】,单调区间的求法步骤：,求,求驻点、不可导点,(,可能的分界点,),确定单调区间,列表考察,f,(,x,),在各个区间内的符号,【,例,3,】,【,解,】,单调区间为,【,例,4,】,【,解,】,讨论函数的单调性,在,x,=0,处有一水平切线,在,(,0,及,0,）上都单调增加,如图所示,【,例,5】,【,证,】,【,应用,】,利用单调性证明不等式,【,结论,】,若函数在某区间上除有限个点导数为,零外,均有,(,或,),则不影响函数的单调性,.,教材,P,130,例,1,【,补例,6,】,证明,【,证,】,正负不易判定,即,证完,【,补例,7】,【,应用,】,利用单调性确定某些方程实根的个数,.,前已证过,1,.,用零点定理证,存在性,（正根）,.,2,.,用罗尔定理反证,唯一性,.,以下用,1,.,用零点定理证,存在性,（正根）,.,2,.,用函数的单调性证,唯一性,.,【,证明,】,唯一性,则其,图象若与 轴相交则仅相交一次,存在性,（略，用零点定理在 内证）,故,方程 只有一个正根,.,【,证完,】,三、曲线凹凸的定义,【,问题,】,单调性不能反映曲线的弯曲方,向；如何研究曲线的弯曲方向,?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,【,定义,】,四、曲线凹凸的判定,【,定理,1】,【,观察,】,【,证,】,只证,(,1,),如图,由,拉氏中值定理可得,两式相减得,即,亦即,凹的,证完,【,例,8,】,【,解,】,【,注意到,】,【,注,】,定理中区间为非闭区间时仍然成立,.,这样的点称为,拐点,.,五、曲线的拐点及其求法,1,、,【,定义,】,【,注意,】,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线（指拐点处可导时）,.,2,、拐点的求法,【,分析,】,连续曲线上凹凸的分界点,(,内点,),称为曲线的拐点,.,所以要寻求拐点,只要找出,f,(,x,),符号发生变化的分界点即可,.,如果,f,(,x,),在区间,I,内具有二阶连续导数,则二阶导数值在由负变正或由正变负的过程中,必在分界点处的值为零,.,即,此外,二,阶,导数不存在的点也可能是拐点（如下图）,原点既是角点、又是拐点，不可导,可能的拐点,【,总结,】,【,方法,】,【,求拐点的步骤,】,设函数,f,(,x,),在,x,0,的,某去心邻域内二阶可导,且,x,0,是,可能的拐点,则,【,例,9,】,【,解,】,拐点,拐点,【,例,10】,【,解,】,但 时,总有,凹,的,故,此例,说明了 的点 也可能不是拐点,.,【,结论,】,【,例,11】,【,解,】,【,注意,】,【,凹凸性应用,】,由曲线的凹凸定义证明不等式,证明,教材,P,152,9(3),【,证,】,令,则,于是由凹弧定义,有,即,得证,【,例,12,】,六、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用,.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立,.,【,应用,】,利用函数的单调性，可以,.,确定某些方程实根的个数,.,证明不等式,.,【,思考题,】,【,思考题解答,】,不能断定,.,例,但,当 时，,当 时，,【,注意,】,可以任意大，故在 点的任何邻域内，都不单调递增,