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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2.3 向量数乘运算及其几何意义,2.2 平面向量的线性运算,第二章 平面向量,问题提出,1.,如何求作两个非零向量的和向量、差向量？,2.,相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如,3,3,3,3,3=5,3=15.,那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究,.,a,b,a,a,b,b,a+b,a,-,b,探究一：向量的数乘运算及其几何意义,思考,1,：,已知非零向量,a,，如何求作向量,a,a,a,和（,a,）（,a,）（,a,）？,a,a,O,a,a,A,B,C,a,a,a,O,M,N,P,a,a,a,（,a,）（,a,）（,a,）,思考,2,：,向量,a,a,a,和（,a,）,（,a,）（,a,）分别如何简化其表示形式？,a,a,a,记为,3,a,，,（,a,）（,a,）（,a,）,记为,3,a,.,思考,3,：,向量,3,a,和,3,a,与向量,a,的大小和方向有什么关系？,a,a,O,a,a,A,B,C,a,a,a,O,M,N,P,思考,4,：,设,a,为非零向量，那么,a,和,a,还是向量吗？它们分别与向量,a,有什么关系？,a,a,a,思考,5,：,一般地，我们规定：实数,与向量,a,的积是一个向量，这种运算叫做,向量的数乘,.,记作,a,，该向量的长度与方向与向量,a,有什么关系？,（,1,）,|,a,|=|,|,a,|,；,（,2,）,0,时,a,与,a,方向相同；,0,时,a,与,a,方向相反；,=0,时,a,=0.,思考,6,：,如图，设点,M,为,ABC,的重心，,D,为,BC,的中点，那么向量 与 ，,与 分别有什么关系？,A,B,C,D,M,探究二,:,向量的数乘运算性质,思考,1,：,你认为,2,（,5,a,），,2,a,2,b,，,a,可分别转化为什么运算？,-2,(5,a,)=-10,a,；,2,a,2,b=,2(,a,+,b,),；,(3,),a,=3,a,a,.,思考,2,：,一般地，设,，,为实数，则,(,a,),，,(,),a,，,(,a,b,),分别等于什么？,(,a,)=(,),a,；,(,),a,=,a,a,；,(,a,b,)=,a,b,.,思考,3,：,对于向量,a,（,a,0,）和,b,，若存在实数,，使,b,=,a,，则向量,a,与,b,的方向有什么关系？,思考,4,：,若向量,a,（,a,0,）与,b,共线，则一定存在实数,，使,b,=,a,成立吗？,思考,5,：,综上可得向量共线定理：,向量,a,（,a,0,）与,b,共线，当且仅当有唯一一个实数,，使,b,=,a,.,若,a,0,，上述定理成立吗？,思考,6,：,若存在实数,，使 ，则,A,、,B,、,C,三点的位置关系如何？,思考,7,：,如图，若,P,为,AB,的中点，则,与 、的关系如何？,A,B,P,O,思考,8,：,向量的加、减、数乘运算统称为,向量的线性运算,，对于任意向量,a,、,b,，以及任意实数,、,x,、,y,，,(x,a,y,b,）可转化为什么运算？,(x,a,y,b,）,=,x,a,y,b,.,理论迁移,例,1,计算,（,1,）（,3,）,4,a,；（,2,）,3,（,a,b,）,2,（,a,b,）,a,；,（,3,）（,2,a,3,b,c,）（,3,a,2,b,c,）,.,2,b,3,b,a,b,O,例,2,如图，已知任意两个非零向量,a,，,b,，,试作,=,a,b,，,=,a,2,b,，,=,a,3,b,.,你能判断,A,、,B,、,C,三点之间的位置关系吗？为什么？,a,b,A,B,C,例,3,如图，平行四边形,ABCD,的两条对角线相交于点,M,，且,=,a,，,=,b,，试用,a,b,表示向量 、,M,A B,D C,a,b,小结作业,1.,实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减,.,实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量,.,2.,若,a,=0,，则可能有,=0,，也可能有,a,=0.,3.,向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论,.,向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据,.,
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