矩阵分解课件

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,Department of Mathematics,Department of Mathematics,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,Department of Mathematics,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,Department of Mathematics,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,Department of Mathematics,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,矩 阵 论 电 子 教 程,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,Department of Mathematics,矩阵的分解,第 四 章,三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列(permuted) 的上三角形矩阵和一个 下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵，和求解联立方程组。,4.1矩阵的三角分解,从而达到求解线性方程组 的目的.,然后求解 ,于是可首先求解向量 使,假定我们能把矩阵 写成下列两个矩阵相乘的,形式： 其中 为下三角矩阵， 为上三角矩阵。,这样,我们可以把线性方程组 写成,令 ,则原线性方程组,定义：,设 若,使得: 称 可以作,三角分解,其中:,记:,定理 :,可作,唯一,三角分解 的充要条件为:,其中: 为 的顺次主子式,L,为,一般,下三角阵而 为,单位,上三角阵的分解称为,Crout 分解,。,为,单位,下三角阵而 为,一般,上三角阵的分解称为,Doolittle分解,而 为,Doolittle 分解,则 为,Crout 分解,证明:,设:,通过比较法直接导出,和,U,的计算公式。,思路,推论:,设 ,且 则,唯一分解成:,其中, 为对角阵,定理:(Cholesky分解 ),正定的,Hermite矩阵 可唯一的分解为:,其中, 为正线下三角,即对角线的元素均为正的,例1:,求,A,的Crout分解和 分解,解答:,设 ,即:,由此:,将 继续分解成 得出:,定理2:,设 ，那么 可唯一地分解为,其中： ， 为正线上三角阵,4.2 矩阵的,QR,分解,定理1：,是次酉阵当且仅当 的列（行）为标,准正交向量组。,定义1:,设 ,若,则称 为,次酉阵，,全体列满秩（行满秩）的次,酉阵的集合记为：,称为,A,的,UR,分解,证明：,先证明分解的存在性。将矩阵 按列分块,得到,由于 ，所以 是线性无关的。,利用Schmidt正交化与单位化方法，先得到一组正交向量组再单位化，这样得到一组标准正交向量组,由前面学的定理有：,其中: 为正线上三角阵.,设 欧氏(酉)空间 的线性无关组,则 中存在标准正交向量组 ,使得,记: ,则,于是: ,下面证明分解是唯一的,假设: ,那么有:,注意到 仍是酉矩阵，而 是一个正线上三角矩阵，因此有:,于是: ,从而,推论1:,设 ，那么 可唯一地分解为,其中： ， 为正线下三角阵,证明:因为 ,则,所以,推论2:,设 ，那么 可唯一地分解为,其中： ， 为正线上三角阵,例 1,求下列矩阵的正交三角分解,解答:,容易判断出 即 是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程，,将 的三个列向量正交化与单位化先得到一个正交向量组:,再将其单位化，得到一组标准正交向量组,这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系可表示成,将上面的式子矩阵化，即为,解答:,首先判断出 ,由定理可知必存在,以及三阶正线上三角矩阵 使得,练习:,求下列矩阵的正交三角分解,重复例题的步骤,即得结果,定理：,设 ，那么存在,使得：,我们知道进行矩阵分解往往是为了提高计算效率,下面我们将给出另一种矩阵的分解。,4.3 矩阵的满秩分解,其中 为列满秩矩阵， 为行满秩矩阵。我们成此分解为,矩阵的满秩分解。,证明：,假设矩阵 的前 个列向量是线性无关的，,对矩阵 只实施行初等变换可以将其化成,即存在 使得,于是有,其中,如果 的前 列线性相关，那么只需对 作列变换使得前 个列是线性无关的。然后重复上面的过程即可。这样存在,且满足,从而：,其中,例 1：,分别求下面三个矩阵的满秩分解,解,：（,1）,对此矩阵只实施行变换可以得到,由此可知,且该矩阵第一列，第三列是线性无关的。选取,同样，我们也可以选取,解,（2,）,对此矩阵只实施行变换可以得到,所以 ，且此矩阵的第三，第四，第五列任意一列都是线性无关的，所以选取哪一列构成列满秩矩阵均可以。,选取,也可以选取,解：,（3,）,对此矩阵只实施行变换可以得到,所以 ，,且容易看出此矩阵的,第二列和第四列是线,性无关的，选取,由上述例子可以看出,矩阵的满秩分解形式并不唯一。,一般地我们选取阶梯型矩阵主元所在的列对应的列向量构成列满秩矩阵，将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行满秩矩阵。但是不同的分解形式之间有如下联系：,定理：,如果 均为矩阵 的满秩分解，,那么,（1） 存在矩阵 满足,（2）,Good,Bye,感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，,如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！,