教育精品：第20讲　等腰三角形

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,20,讲,等腰三角形,第,20,课时等腰三角形,第,20,讲,考点聚焦,考点聚焦,考点,1,等腰三角形的概念与性质,定义,有,_,相等的三角形是等腰三角形相等的两边叫腰，第三边为底,性质,轴对,称性,等腰三角形是轴对称图形，有,_,条对称轴,定理,1,等腰三角形的两个底角相等,(,简称为：,_),定理,2,等腰三角形顶角的平分线、底边上的,_,和底边上的高互相重合，简称,“,三线合一,”,两边,一,等边对等角,中线,第,20,讲,考点聚焦,考点,2,等腰三角形的判定,定理,如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等,(,简写成：,_),拓展,(1),一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形,(2),一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形,(3),一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形,等角对等边,考点,3,等边三角形,第,20,讲,考点聚焦,定义,三边相等的三角形是等边三角形,性质,等边三角形的各角都,_,，并且每一个角都等于,_,等边三角形是轴对称图形，有,_,条对称轴,判定,(1),三个角都相等的三角形是等边三角形,(2),有一个角等于,60,的等腰三角形是等边三角形,相等,60,3,第,20,讲,归类示例,归类示例,类型之一等腰三角形的性质的运用,命题角度：,1.,等腰三角形的性质；,2.,等腰三角形“三线合一”的性质；,3.,等腰三角形两腰上的高,(,中线,),、两底角的平分线的性质,.,例,1,2012,镇江,如图,20,1,，在四边形,ABCD,中，,ADBC,，,E,是,AB,的中点，连接,DE,并延长交,CB,的延长线于点,F,，点,G,在边,BC,上，且,GDF,ADF.,(1),求证：,ADEBFE,；,(2),连接,EG,，判断,EG,与,DF,的位置关系，,并说明理由,图,20,1,第,20,讲,归类示例,解析,先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段中点得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等的条件可证明,DFG,是等腰三角形，再结合点,E,是,DF,的中点，根据等腰三角形,“,三线合一,”,的性质可证明结论,第,20,讲,归类示例,解：,(1),证明：,AD,BC,，,ADE,BFE,，,DAE,FBE.,E,是,AB,的中点，,AE,BE.,ADE,BFE.,(2)EG,与,DF,的位置关系是,EG,DF.,GDF,ADF,，,又,ADE,BFE,，,GDF,BFE,，,GD,GF.,由,(1),得，,DE,EF,，,EG,DF.,第,20,讲,归类示例,(1),利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换,(2),在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换,类型之二等腰三角形判定,命题角度：,等腰三角形的判定,第,20,讲,归类示例,图,20,2,例,2,2011,扬州,已知：如图,20,2,，锐角,ABC,的两条高,BD,、,CE,相交于点,O,，且,OB,OC,.,(1),求证：,ABC,是等腰三角形；,(2),判断点,O,是否在,BAC,的平分线上，并说明理由,第,20,讲,归类示例,解析, (1),利用,BDC,CEB,证明,DCB,EBC,；,(2),连接,AO,，通过,HL,证明,ADO,AEO,，从而得到,DAO,EAO,，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论,解：,(1),证明：,OB,OC,，,OBC,OCB,.,BD,、,CE,是两条高，,BDC,CEB,90,.,又,BC,CB,，,BDC,CEB,(AAS),DBC,ECB,AB,AC,.,ABC,是等腰三角形,第,20,讲,归类示例,(2),点,O,是在,BAC,的平分线上,连接,AO,.,BDC,CEB,，,DC,EB,.,OB,OC,，,OD,OE,.,又,BDC,CEB,90,，,AO,AO,，,ADO,AEO,(HL),DAO,EAO,.,点,O,是在,BAC,的平分线上,第,20,讲,归类示例,要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有,(1),通过等角对等边得两边相等；,(2),通过三角形全等得两边相等；,(3),利用垂直平分线的性质得两边相等, 类型之三 等腰三角形的多解问题,例,3,2012,广安,已知等腰,ABC,中，,AD,BC,于点,D,，且,AD,0.5,BC,，则,ABC,底角的度数为,(,),A,45 B,75,C,45,或,75 D,60,第,20,讲,归类示例,命题角度：,1.,遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分；,2.,遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况,C,第,20,讲,归类示例,第,20,讲,归类示例,因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况, 类型之四等边三角形的判定与性质,例,4,2011,绍兴,数学课上，李老师出示了如下框中的题目,在等边三角形,ABC,中，点,E,在,AB,上，点,D,在,CB,的延长线上，且,ED,EC,，如图,20,3.,试确定线段,AE,与,DB,的大小关系，并说明理由,第,20,讲,归类示例,命题角度：,等边三角形的判定与性质的综合,图,20,3,第,20,讲,归类示例,小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：,(1),特殊情况，探索结论,当点,E,为,AB,的中点时，如图,20,4,，确定线段,AE,与,DB,的大小关系，请你直接写出结论：,AE_DB(,填“,”“,”“,”,或,“,”,),理由如下：如图,20,4,，过点,E,作,EF,BC,，交,AC,于点,F,.,(,请你完成以下解答过程,),(3),拓展结论，设计新题,在等边三角形,ABC,中，点,E,在直线,AB,上，点,D,在直线,BC,上，且,ED,EC,.,若,ABC,的边长为,1,，,AE,2,，求,CD,的长,(,请你直接写出结果,),(3)1,或,3.,第,20,讲,归类示例,方法一：等边三角形,ABC,中，,ABC,ACB,BAC,60,，,AB,BC,AC,.,EF,BC,，,AEF,AFE,60,BAC,，,AEF,是等边三角形，,AE,AF,EF,，,AB,AE,AC,AF,，即,BE,CF,.,又,ABC,EDB,BED,60,，,ACB,ECB,FCE,60,，,且,ED,EC,，,EDB,ECB,，,BED,FCE,.,又,DBE,EFC,120,，,DBE,EFC,，,DB,EF,，,AE,BD,.,第,20,讲,归类示例,方法二：在等边三角形,ABC,中，,ABC,ACB,60,，,ABD,120.,ABC,EDB,BED,，,ACB,ECB,ACE,，,ED,EC,，,EDB,ECB,，,BED,ACE,.,FE,BC,，,AEF,AFE,60,BAC,，,AEF,是正三角形，,EFC,180,ACB,120,ABD,.,EFC,DBE,，,DB,EF,，,而由,AEF,是正三角形可得,EF,AE,.,AE,DB,.,第,20,讲,归类示例,等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于,60,的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等,