数学归纳法1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学归纳法,回想等差数列通项公式的推倒过程：,像这种由,一系列特殊事例,得出,一般结论,的推理方法，叫做,归纳法,。,思考：归纳法有什么优点和缺点？,优点：,可以帮助我们从一些具体事,例中发现一般规律,缺点：,仅根据有限的特殊事例归纳,得到的结论有时是不正确的,举例说明：,一个数列的通项公式是：,a,n,=(,n,2,5,n,+5),2,请算出,a,1,=，,a,2,=，,a,3,=，,a,4,=,猜测,a,n,?,由于,a,5,25 1,，所以猜测是不正确的,所以由归纳法得到的结论,不一定可靠,1,1,1,1,猜测是否正确呢？,在使用归纳法探究数学命题时，必须对,任何可能的情况,进行论证后，才能判别命题正确与否。,思考,1,：,与正整数,n,有关的数学命题能否通过,一一验证,的办法来加以证明呢？,思考,2,：,如果一个数学命题与正整数,n,有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？,多米诺骨牌成功的关键有两点：,(1),第一张牌被推倒,(2),假如,某一张牌倒下,则它的后,一张牌,必定,倒下,于是,我们可以下结论：,多米诺骨牌会全部倒下,（基础）,（依据）,证明一个与正整数,n,有关的数学命题,关键步骤如下：,这种证明方法叫做,数学归纳法,(1),证明,当,n,取第一个值,n,0,时命题成立,完成这两个步骤后,就可以断定：,命题对从 开始的所有正整数,n,都成立,(2),假设,当 时,命题成立,证明,当 时,命题也成立,（基础）,（依据）,证明,：,（,1,）当,n,=1,时，,等式是成立的,（,2,）假设当,n=k,时等式成立，就是,那么,这就是说，当,n,=,k,+1,时，等式也成立,由（,1,）和（,2,），可知等式对任何 都成立,如果 是等差数列，已知首项为,公差为 ，那么,对一切 都成立,例,1,试用数学归纳法证明,因此数学归纳法是一种科学的递推方法,(1),是递推的基础,(2),是递推的依据,例2、,用数学归纳法证明：,1+3+5+,+(2,n-1)n,2,(2),假设,nk,时，等式成立，即,(1),n1,时，左边=1，右边=1，等式成立；,1+3+5+,+(2,k-1)k,2,那么当,nk+1,时，,由、可知对任何,nN*,时，等式都成立,需要证明的式子是?,1+3+5+,+(2,k-1)+,（,2k+1,）,k,2,+,（,2k+1,）（,k+1）,2,这就是说，当,n,=,k,+1,时，等式也成立,例,3,、,用数学归纳法证明,右边,那么当,n=k+1,时,（,2,）假设当,n=k,时，等式成立，,，等式成立,证明,：,（,1,）当,n,=1,时，,左边,1,2,1,，,就是,这就是说，当,n,=,k,+1,时，等式也成立,由（,1,）和（,2,），可知的等式对任何 都成立,思考：,试问等式2+4+6+,+2,nn,2,+n+1,成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？,解,:,设,nk,时成立，即,这就是说，,nk+1,时也成立,2+4+6+,+2,kk,2,+k+1,则当,n=k+1,时,2+4+6+,+2k+2(k+1),k,2,+k+1+2k+2(k+1),2,+(k+1)+1,所以等式对任何,nN,*,都成立,事实上，当,n1,时，左边2，右边3,左边右边，等式不成立,该同学在没有证明当,n=1,时，等式是否成立的前提下，就断言,等式对任何,nN,*,都成立，为时尚早,证明：,当,n,=1,时，左边,右边,假,设,n=k,时，,等式成立，,那么,n=k+1,时,等式成立,这就是说，当,n=k+,1,时，等式也成立,根据（,1,）和（,2,），可知等式对任何,n,N,都成立,即,第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求,思考：,下面是某同学 用数学归纳法证明等式,成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么,？,（,n,N,）,n,n,2,1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,3,2,-,=,L,因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是,递推的基础,，第二步是,递推的依据,。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。,思考：,步骤,(1),中,n,取的第一个值,n,0,一定是,1,吗？为什么？,答：不一定,举例说明：,用数学归纳法证明,n,边形的对角线的条数是,此时,n,取的第一值,用数学归纳法证明与正整数,n,有关的数学命题时，需注意：,要完成两个证明，一个结论,（,1,）在完成第一个证明时，弄清,n,取的第一,个值是多少,（,2,）在第二步中，要弄清当,n=k+1,时，我们,要证明的是什么，并且这个证明要在假,设条件下进行，不能脱离假设条件，否,则不符合数学归纳法的证明要求,2.,数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：,（,1,）,证明当 取第一个值（如 或,2,等）时命题成立,递推基础,（,2,）,假设 时,命题成立,证明 时命题也成立,递推依据,在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从,n,0,开始,的所有正整数,n,都成立,1.,数学归纳法,适用范围,:,仅限于与正整数有关的数学命题,3.,数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，,使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷,课堂小结,作业：,练习册,7.4-A,组,-1,，,2,，,3,，,4,B,组,-1,7.5-A,组,-1,，,2,，,3,