第六节 线性微分方程解的结构(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六节 线性微分方程解的结构,二、线性齐次微分方程解的结构,三、线性非齐次微分方程解的结构,一、二阶线性微分方程举例,一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消,时,物体,处于平衡,状态,例,质量,为,m,的,物体自由悬挂在一端固定的弹簧,上,力作用下作往复运动,解,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开,平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,如图建立坐标系.,设,时刻,t,物,体,位移为,x,=,x,(,t,).,1.弹性,恢复力,物体所受的力有:,成,正比,方向,相反,.,建立位移满足的微分方程.,2.,阻力,据牛顿第二定律得,则得有阻尼,自由振动方程:,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程;,二阶线性非齐次微分方程.,n,阶线性微分方程,的一般形式为,n,阶线性齐次微分方程;,n,阶线性非齐次微分方程.,复习:,一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解,Y,二、线性齐次微分方程的解的结构,定理1,问题,:,例：设,y,1,为(1)的解,则,y,2,=2,y,1,是(1)的解,但是,y,=,C,1,y,1,+,C,2,y,2,不为(1)的通解.,(,解得叠加原理,),为解决通解的判别问题,下面引入,函数的线性相关,与线性无关,概念.,证,代入方程左边,得,定义,是定义在,区间,I,上,的,n,个函数,使得,则称,这,n,个函数在,I,上,线性相关,否则称为,线性无关,.,例如：,在(,)上都有,故它们在任何区间,I,上都,线性相关;,又如：,若在某,区间,I,上,则根据二次多项式至多只有两个,零点,必需,全为 0,可见,在任何,区间,I,上都,线性,无关.,若存在,不全,为 0,的常数,线性相关,存在不全,为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0,则,必线性,相关,两个,函数在区间,I,上线性,相关与线性无关的,充要条件:,例如,推论,是,n,阶线性齐次微分方程,的,n,个线性无关解,则,方程的通解为,三、线性非齐次微分方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y,(,x,),是相应,齐次方程的通解,定理 3,则,是非齐次方程的通解.,证,将,代入方程左端,得,是非齐次方程的解,又,Y,中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,因而,是通解.,例2 设,是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解，试用,表示方程的通解.,例3已知,y=x,及,y,=,sin,x,为,某二阶线性齐次,方程的解,求该方程.,解,例4,解,(1),由题设可得：,解此方程组，得,(2),原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,(,非齐次方程之解的叠加原理,),n,阶线性微分方程,二阶非齐次线性方程的解的结构可以推广:,四、小结,主要内容,2、二阶线性微分方程解的结构定理,1、函数的线性相关与线性无关；,思考题,解,都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数,所求通解为,补充内容,可观察出一个特解,练 习 题,练习题答案,