微分方程数值解法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 常微分方程初值问题,数值解法,第一节 基本原理，,Euler,法,考虑一阶常微分方程的初值问题,/*Initial-Value Problem*/,:,只要,f,(,x,y,),在,a,b,R,1,上连续，且关于,y,满足,Lipschitz,条件,，即存在与,x,y,无关的常数,L,使,对任意定义在,a,b,上的,y,1,(,x,),和,y,2,(,x,),都成立，则上述,IVP,存在唯一解。,(1),一、,初值问题的数值解,例,:,求解,要计算出解函数,y,(,x,),在一系列节点,a,=,x,0,x,1,0,使得,对一切 成立，则,该方法收敛，,且有,整体截断误差,注：由该定理可知,整体截断误差,总比,局部截断误差,低一阶,关于整体截断误差与局部截断误差的关系,有如下定理,例：考察改进,Euler,法的收敛性。对改进的,Euler,法,于是有,设,L,为,f,关于,y,的,Lipschitz,常数,则由上式可得,限定,h,即可知,Q,满足,Lipschitz,条件,故改进的,Euler,法收敛,.,例：,考察初值问题 在区间,0,0.5,上的解。,分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解,h=0.1,。,0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,精确解,改进欧拉法,欧拉隐式,欧拉显式,节点,x,i,1.0000,2.0000,4.0000,8.0000,1.6000,10,1,3.2000,10,1,1.0000,2.5000,10,1,6.2500,10,2,1.5625,10,2,3.9063,10,3,9.7656,10,4,1.0000,2.5000,6.2500,1.5626,10,1,3.9063,10,1,9.7656,10,1,1.0000,4.9787,10,2,2.4788,10,3,1.2341,10,4,6.1442,10,6,3.0590,10,7,3.,稳定性,定义,若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计算中都,逐步衰减,，则称该算法是,绝对稳定的,/*,absolutely stable,*/,。,一般分析时为简单起见，只考虑,试验方程,/*test equation*/,当步长取为,h,时，将某算法应用于上式，并假设只在初值产生误差 ，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于,绝对稳定,，的全体构成,绝对稳定区域,。我们称,算法,A,比算法,B,稳定,，就是指,A,的绝对稳定区域比,B,的,大,。,h,l,h,=,h,例：,考察显式欧拉法,由此可见，要保证初始误差,0,以后逐步衰减，,必须满足：,0,-,1,-,2,Re,Img,例：,考察隐式欧拉法,可见绝对稳定区域为：,2,1,0,Re,Img,注：,一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。,圆盘外均为稳定区域！,梯形法稳定区域？,整个左半平面！,改进,Euler,法：,