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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,3,章 集合、映射和函数,一、集合,二、映射,三、函数,（,一次函数、,二次函数）,函数的性质,（,奇偶性,、,周期性,）,第,3,章 集合、映射和函数,一、集合,1,、,集合的基本概念,把某些确定的对象,集,在一起，就形成了一个集合。,元素与集合的关系：,集合常用 表示。,集合的元素常用 表示。,集合的分类：,有限集,空集,无限集,集合中,元素的特性,：,确定性、互异性、无序性,。,2,、,集合的表示法,列举法,描述法,a.,列举法,：,b.,描述法,：,把集合的元素一一列举出来，并写在,大括号内。,把集合中元素的共同特性描述出来，并,写在大括号内。,一般形式为：,如：,3,、,几种常见的,数集,的表示符号,自然数集；,整数集；,有理数集；,实数集；,复数集。,4,、,集合与集合之间的关系,三种符号：,三种关系：,子集,真子集,相等,如：,是任何集合的子集。,是任何,非空集合,的,真子集,。,任意集合 是它本身的一个子集。,区别,五种符号：,例,集合 的子集的个数为（）,（,07,年,）,B,A.,B.,C.,D.,含有 个元素的有限集，共有 个,子集,。,证明：,设,则其子集有：,个。,5,、,集合的运算（）,且,或,设 则,且,例,已知,C,A.,B.,C.,D.,则,（）,.,解,例,设,A,A.,B.,C.,D.,则,（）,.,且,解,补,设集合,则 的,元素个数,为（）,.,A,A.,B.,C.,D.,解,先解方程：,故,因此 中,最多,有,2,个元素，排除,C,D.,把 代入集合 中，,二、映射,（,实际上是两个集合之间的,对应（关系,）,映射,：,设 是两个集合，如果按照某个对应,法则 ，对于 中的,任何一个元素,，在 中,都,有,惟一,的元素与之对应，则这样的,对应,称为,集合 到 的映射。,.,.,.,.,.,.,.,记作：,一一映射,：,若映射 满足：,中,不同的元素,在 中有,不同的象,；,中,每个元素,都有,原象,。,则称 是 到 上的一一映射。,例,映射 是一种对应，对于这种对应关系，,以下的说法,错误,的是（）,.,A.,B.,C.,D.,中每一个元素都存在 中元素与它对应；,中每个元素不能对应 中一个以上的元素；,中可以有两个或两个以上的元素对应 中一个元素；,中不可有多余元素。,D,三、函数,定义：,设 是 的,非空子,集，则,则称,映射,为 到 的一个,函数,。,记作：,.,.,.,.,.,.,.,函数的三要素：,定义域,对应法则,值域,决定,要素,几种常见的函数,1,、,一次函数,（定义、图像、性质）,直线,，,定义域和值域均为,的含义：,直线的,斜率,，,锐角，增函数,钝角，减函数,直线在 轴上的,截距,。,.,.,正比例函数：,例,如果图,1,中给出了平面直角坐标系中直线,的图像，那么坐标为 的点在（）,.,B,（,2010,年,）,A.,B.,C.,D.,第,象限,第,象限,第,象限,第,象限,图,1,解,由图像知,y=x,一三,点在第,象限。,例,某人从家到工厂的路程为 米。有一天，他,从家,去工厂,，先以每分钟 米的速度走了 米后，,A.,B.,C.,D,他加快了速度，以每分钟 米的速度走完了剩下的,路程。记该人在 分钟走过的路程为 米，那么,函数 的图像是（）,.,（分）,（米）,（分）,（米）,（分）,（米）,D.,（分）,（米）,（,08,年,）,反比例函数：,定义域：,值域：,图像：,双曲线,2,、,二次函数,（定义、图像、性质）,抛物线,抛物线：,1,、,开口朝向,a0,开口上,a0,开口下,2,、,顶点,3,、,对称轴,函数的性质：,1,、,单调性,2,、,最值,3,、,值域,（与,开口、对称轴,有关）,（在顶点处取得）,1,、开口朝向,求抛物线的,顶点,（二次函数的,最值,）方法：,公式法,配方法,例,顶点为：,最小值为：,补,在同一直角坐标系中，一次函数,和二次函数 的图像大致为（）,.,A.,B.,C.,D.,B,例,若图,3,中给出的函数 的图像与,轴,相切,，则 （）,.,D,（,2010,年,）,A.,B.,C.,D.,图,3,解,由题知,法一,即,（,舍,）,法二,由题知,即,（,舍,）,例,设二次函数 图像的对称轴,为 ，其图像过点 ，则 （）,.,D,（,06,年,）,A.,B.,C.,D.,解,由题意得,代入 得,故,因此,例,函数 在 上,单调增,的充分必要条件是（）,.,C,（,03,年,）,解,由题意得,A.,B.,C.,D.,且,且,且,且,排除,A,B,又,若区间改为：呢？,则,例,下图直角坐标系 中的曲线是二次函数,的图像，则 （）,.,B,（,09,年,）,A.,B.,C.,D.,解,由图知,排除,A,C.,又 点 在抛物线上，,将其代入,B,，,D,中,选,B.,法一,法二,又由图知，,对称轴,为：,按 检验后，,B,正确。,反函数,如果,映射,是,一一映射,，,则可确定,记作：,.,.,.,.,.,.,一个 到 的一个映射，称此映射为函数,的反函数。,与 的,定义域,和,值域,相反,。,与 的图像关于直线,对称,.,关于反函数的存在性,若函数 在某区间内是,严格单调增（减），,则它,一定存在,反函数。,若函数 在 ，则 在,上,不存在,反函数。,例,在 内不存在反函数。,但在 内存在反函数。,求 的反函数的步骤,：,从 中解出,调换 的位置。,确定 的值域，即反函数的定义域。,例,设 如果 的反函数的图像经过,B,点 ，那么 （）。,A.,B.,C.,D.,解,由题意得,两边同时 次方 得,例,函数 的反函数是（）。,D,A.,B.,C.,D.,解,由,得,又,故反函数为：,排除,A,B.,由图可知原函数的值域为：,选,D.,函数的性质,（单调性、,奇偶性,、,周期性,）,1,、单调性,若对,当,时,都有：,则称,在,内,单调增加,；,的单调增加区间。,具有单调性的,函数图像的特点,：,增函数的,图像是一条,上升,的曲线；,减函数的,图像是一条,下降,的曲线。,2,、奇偶性,关于,原点对称,若对,都有：,偶函数,奇函数,的奇偶性。,奇偶函数图像的特点：,奇函数,的图像关于原点对称；,偶,函数,的图像关于 轴对称。,（画图时可利用）,奇偶函数的性质：,（,1,）奇函数 奇函数,=,奇函数,偶函数 偶函数,=,偶函数,（,2,）奇函数 奇函数,=,偶,函数,偶函数 偶函数,=,偶函数,奇,函数,偶,函数,=,奇,函数,2,、利用已知函数的奇偶性和奇偶函数的性质判断。,判断函数奇偶性的方法：,1,、利用奇偶性的定义判断。,D,A.,B.,C.,D.,解,观察图像知，需判断函数的奇偶性。,例,函数 的部分图像是（）。,是,奇,函数，可排除,A,C.,B,例,若,奇,函数 在 上是,增,函数，又,则 可表述为（）,.,解,画图即可,是奇函数，且,A.,B.,C.,D.,由图知，选,B.,3,、,周期性,若存在,非零常数,，使对,定义域,都有,：,均为周期函数。,周期函数图像的特点：,若 的周期为 ，则 也是,的周期。,即,C,例,函数 是定义在 上的周期为,3,的,（,09,年,）,周期函数，下图表示的是该函数在 上的图像，,则 的值等于（）,.,A.,B.,C.,D.,解,由图知,又,的周期为,3,故,A,例,函数 是,奇,函数，是以,4,为周期的,周期函数,，,（,2010,年）,且 若,则 （）,.,A.,B.,C.,D.,解,是奇函数,又,是周期为,4,的周期函数,故,A,例,若函数 是,周期,为,6,的,奇,函数，则,（,2011,年）,的值等于（）,.,A.,B.,C.,D.,解,由题知,又,D,定义在 上的函数 既是,偶,函数又是,周期,函数。若 的最小正周期是 且当,时，则 的值为（）,.,A.,B.,C.,D.,补,解,又,的周期为,即,偶函数,3,、,幂函数、指数函数和对数函数,a.,指数,指数满足的规律：,b.,对数,若,对数恒等式,：,则 叫以 为底 的对数。,记作：,指数、对数的互换：,特别地，,对数满足的规律：式中,（,P,29,）,（,换底,公式）,补,补,设 且,则 （）,.,A.,B.,C.,D.,解,先排除,A,C.,关键是求：,故,B,幂函数,幂函数的定义域随 的不同而不同。但有一,公共,定义域为：,且在 内，,会画几种常见幂函数的图像,定义,形如：的函数。,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,指数函数与对数函数（,互为反函数,）,a.,指数函数定义、,b.,对数函数定义、,定义域：,值域：,单调性：,性质、图像,性质、图像,定义域：,值域：,单调性：,问题：,在 内是否为增函数？,指数函数,对数函数,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,1,1,1,1,复合函数的单调性,“,同增异减,”,原理,内层,函数,外层,函数,若,内层,函数,，则,复合,函数,的单调性与,外层,函数 的单调性,相同,；,若,内层,函数,，则,复合,函数,的单调性与,外层,函数 的单调性,相反,。,例,解,外层,函数,内层,函数,在,内单调减少,。,B,例,已知函数 在区间,上是,减,函数，则实数 的取值范围是（）,.,解,由题知,A.,B.,C.,D.,当 时,当 时,把 代入式，得,即,排除,A,C,D,选,B.,另：,由得,故,C,例,下列函数为,减,函数的是（）,.,A.,B.,C.,D.,解,先判断,C.,1,增函数,+,增函数,=,增函数,减函数,+,减函数,=,减函数,1,在 内不具有单调性。,下面判断,的单调性。,解,
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