无穷积分收敛的概念(北工大)(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 无穷积分收敛的概念,一、无穷积分收敛与发散概念,二、无穷积分与级数,基本积分公式,基本积分公式,一、无穷积分收敛与发散概念,1,定义,1,设函数 在区间,（或,有定义，符号,（或,称为函数,的,无穷积分,。,定义,2,设,函数 在 可积，,若极限,存在,则称无穷积分,(,不存在,),，,收敛,（发散），,其极限称为无穷积分,(,的值,),即,定义,3,设 函数,f(x,),在,q,b,若极限,存在,收敛,（的值），即,可积，,（不存在），,则称无穷积分,其极限称为无穷积分,(,发散,),，,定义,4,若 两个无穷积分,都收敛,则称无穷积分,收敛,与,（至少有一个发散），,(,发散,),，,且,几何意义,:,例,1,求下列无穷积分,:,例,2,求下列无穷积分,:,2.,例题,注,:,若要考察 在区间 的可积性,要验证下面两个极限,与,都存在,.,计算方法,:,若函数 在区间,存在原函数,即,则,3.,练习,(1),例,3,判别无穷积分,例,4,判别无穷积分,的敛散性,.,的敛散性,.,二,.,无穷积分与级数,的敛散性都可归结为,形如 的无穷积分,.,收敛,收敛,发散,发散,定理,1,无穷积分,收敛,有,收敛于同一,数，且,对任意数列 有,而 级数,证明,必要性,已知无穷积分收敛，即,充分性,已知对任意数列,而,时，,级数 收敛,于同一个数，即它的部分和数列,收敛于同一个数。由海涅极限定理，无穷,积分 收敛，,收敛,令,证明,即证极限 存在,.,已证 收敛,.,且,练习,:,