“杨辉三角”与二项式系数性质一(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,“,杨辉三角,”,与,二项式系数,的性质,(,一,),重点,:,二项式系数的函数性质,二项展开式,二项式系数,通项,基本知识点,:,降幂,升幂,基本知识点,:,1,6,15,20,15,6,1,(a+b),1,(a+b),3,(a+b),4,(a+b),5,(a+b),2,(a+b),6,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,(a+b),n,C,n,0,C,n,1,C,n,2,C,n,r,C,n,n,这个表叫做二项式系数表,也称为,“,杨辉三角,”,；,(,a,+,b,),1,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),3,(,a,+,b,),4,(,a,+,b,),5,(,a,+,b,),6,1,）请看系数有没有明显的规律？,2,）上下两行有什么关系吗？,3,）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗,?,每行两端都是,1 C,n,0,=,C,n,n,=1,从第二行起，每行除,1,以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和,(,a,+,b,),1,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),3,(,a,+,b,),4,(,a,+,b,),5,(,a,+,b,),6,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,九章算术,杨辉,详解九章算法,中记载的表,本积,平方,立方,三乘,四乘,五乘,商实,早在我国,南宋数学家,杨辉,1261,年所著的,详解,九章算法,二项式系数表,.,在书中说明了,表里“一”以,外的每一个数都等于它肩上两个数的和,；指出这个方,法出于,释锁,算书，且我国,北宋数学家,贾宪,（约公,元,11,世纪）已经用过它,.,这表明我国发现这个表不晚,于,11,世纪,；在欧洲，这个表被认为是法国数学家,帕斯,卡（,1623-1662,）,首先发现的，他们把这个表叫做,帕,斯卡三角,.,这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲,早五,百年左右,.,二项式系数的函数观点：,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成是以,r,为自变量的函数：,当,n=6,时，其图象是,7,个孤立点！,定义域是,0,1,2,n,二,、,讲授新课：,二项式系数的性质,1,：,对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式,得到,图象的对称轴：,由于,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数的性质,2,：,增减性与最大值,，二项式系数逐渐增大；由对称性可知，,，二项式系数逐渐减小的,中间项最大,.,展开式总项数的一半,二项式系数,的性质,2,：,增减性与最大值,1),先增后减,.,2)n,是偶数时，,中间的一项,（第,项）的二项式系数,取得最大值；,当,n,是奇数时，,中间的两项,（第,项）的二项式系数,和 相等，且同时取得最,大值,.,二项式系数的性质,3,：,各二项式系数的和,在二项式定理中，令 ，则,即 的展开式的各二项式系数的和为,2,n,.,同时由于 ，上式还可以写成：,-,赋值法,（,1,）,一般地，展开式的二项式系数 有如下基本性质：,（,2,）,（,4,）,（,3,）,当,n,为偶数时，最大,当,n,为奇数时，,=,且最大,（对称性）,例,1.,证明：在,(a,b),n,展开式中,奇数项的二项式系,数的和等于偶数项的二项式系数的和,.,即,证：,题型一,:,二项式系数和的应用,变式练习,2047,512,例,2,已知,求,:(1),(2),(3),(4),(5),1,题型二,:,求展开式的系数和或部分项的系数和,点评,:,求,(,ax+b),n,(ax,2,+,bx+c),n,展开式系数常用赋值法,.,令,x=0,可得,常数项,.,令,x=1,可得,所有项系数之和,.,令,x=-1,可得,(,偶次项系数之和,)-(,奇次项系数之和,),当二项式,(ax-,b),n,中含有负值项时,只要将,-,号改成,+,令变量,x=1,就可得,各项系数绝对值之和,.,1,三、,展开式中系数,(,二项式系数,),最大的项：,因为题中最大系数只与二项式系数有关,所以最大系数,是第,6,项,.,三、,展开式中系数,(,二项式系数,),最大的项：,解,:(1),设第,r+1,项系数最大,则有,三、,展开式中系数,(,二项式系数,),最大的项：,解,:(2),展开式共有,8,项,其中最大项一定是正项,因为,第,1,3,5,7,项是正的,又因为展开式中后项系数绝对值,大于前项,所以最大值出现在中间或偏右,.,点评,:,求系数最大问题，分三类,1.,只与二项式系数有关的,利二项式系数的特点求最大系数,.,2.,不仅仅与二项式系数有关的,:,若,(,a+b),n,通常设第,r+1,项是,系数最大，列不等式组,3.,不仅仅与二项式系数有关的,:,若,(a-b),n,分析在正项中找最,大系数项,.,由此确定,r,的取值,练习,.,已知：的展开式中只有第,10,项系数,最大，求第五项,.,解,课堂练习,2.,求证：,证明：,倒序,相加法,（,1,）,二项式系数的三个性质,:,（,2,）,数学思想：,函数思想,.,二项式系数之和,:,最值,:,（,3,）,数学方法：,赋值法、递推法,.,当 时，二项式系数是逐渐增大的，,由对称性知,它的后半部是逐渐减小的,.,当,n,是,偶数,时，,中间的一项,取得,最大,时 ；,当,n,是,奇数,时，,中间的两项,，相等，,且,同时,取得,最大,值,.,增减性,:,n,2,(,由赋值法求得,),四,、课堂小结,：,课堂练习：教材,35,页,1,，,2,，,3,课外作业：习题,10.4-6,，,7,，,8,，,9,，,10,