生物统计-8第八章 单因素方差分析 (2)

第,八,章 单因素方差分析,8.1,方差分析的基本原理,8.2,固定效应模型,8.3,随机效应模型,8.5,方差分析应具备的条件,第八章,单因素方差分析,8.1,方差分析的基本原理,例,有,5,组数据要比较，若一对一对的比较，则共需比对 。假设每一对接受,H,0,正确的概率为,=0.95,，而且这些检验都是独立的，那么,10,对都接受的概率 ，因此 ，即全部比较中至少犯一次第,I,类错误的概率为,0.40,，这显然是不能接受的。,方差分析（,analysis of variance,ANOVA,）,是一种特殊情况下的统计假设检验，是,多组数据,之间,平均数,差异的显著性检验。,t,检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性，而方差分析则可以同时判断多组数据间的差异显著性。对多组数据若仍用前面介绍的,t,检验进行一对对的比较，会大大增加犯第,I,类错误的概率。,8.1.1,方差分析的一般概念,方差分析是将各组数据放在一起，,一次,比较就对所有各组间是否有差异作出判断。如果没有显著差异，则认为它们都是相同的；如发现有差异，再进一步比较是哪组数据与其他数据不同。,8.1,方差分析的基本原理,方差分析,中常用到的术语,1.,因素,(factor),可能影响试验结果，且在试验中被考查的原因或原因组合。有时也可称为,因子,。,2,.,水平,(level),因素在试验或观测中所处的状态。,3,.,主效应,反映一个因素各水平的平均响应之差异的一种度量。一个因子第,i,水平上所有数据的平均与全部数据的平均之差，称为该因子第,i,水平的主效应,。,4,.,交互效应,由两个或多因素之间水平搭配而产生的差异的一种度量。,5,.,处理,实验中实施的因子水平的一个组合,。,8.1,方差分析的基本原理,6,.,固定因素,该因素的水平可准确控制，且水平固定后，其效应也固定。,7,.,随机因素,该因素的水平不能严格控制，或虽水平能控制，但其效应仍为随机变量。如动物的窝别（遗传因素的组合），农家肥的效果，等等。,8,.,误差,除了实验中所考虑的因素之外，其他原因所引起的实验结果的变化。它可分为,系统误差,和,随机误差,。,系统误差：,误差的组成部分，在对同一被测量的多次测试中，它保持不变或按某种规律变化。它的原因可为已知，也可为未知，但均应尽量消除。,随机误差,：,误差的组成部分，在对同一被测量的多次测试中，它受偶然因素的影响而以不可预知的方式变化。它无法消除或修正。,方差分析,中常用到的术语,8.1,方差分析的基本原理,例,8.1,调查,5,个不同小麦品系的株高，结果如下：,株 号,品 系,I,II,III,IV,V,1,64.6,64.5,67.8,71.8,69.2,2,65.3,65.3,66.3,72.1,68.2,3,64.8,64.4,67.1,70.0,69.8,4,66.0,63.7,66.8,69.1,68.3,5,65.8,63.9,68.5,71.0,67.5,和,326.5,322.0,336.5,354.0,343.0,平均数,65.3,64.4,67.3,70.8,68.6,其中仅出现,“,品系,”,这样一个因素，故称为,单因素,。共有,5,个不同的品系，称品系这一因素共有,5,个水平,。,5,个品系可以认为是,5,个总体,，表中数据是从,5,个总体中抽出的,5,个样本，通过比较来判断这,5,个总体是否存在差异。,上述试验中只有一个因素，该因素有,a,个,处理,（,treatment,）,，这样的实验称为,单因素实验,。从单因素实验的每一个处理所得到的结果都是一随机变量 。对于,a,个处理，各重复 次（或做 次观测）的单因素方差分析的一般表示法见下表,单因素方差分析的典型数据,8.1,方差分析的基本原理,8.1,方差分析的基本原理,表中数据的固定表示法和符号所表示的意义如下：,：因素的水平数,：每一水平的重复数,：第,i,水平的第,j,次观察值。,1,i,a,1,j,n,，第,i,水平所有观察值的和,，第,i,水平均值,，全部观察值的和,，总平均值,，第,i,水平上的子样方差。,8.1,方差分析的基本原理,8.1.2,方差分析,的直观理解,方差分析是一种对平均数所做的检验,一种是,检验两个平均数的差,是否可以用随机误差解释，如果平均数的差是由随机误差造成的，那么平均数之间的差异不显著，抽出样本的两个总体具有相同的总体平均数。,另一种检验方式是,检验几个样本平均数的方差,是否足够大。如果样本方差足够大，远远大于由随机误差所产生的方差，说明这几个样本平均数之间的离散程度很高，抽出的这几个样本的总体属于不同的总体，总体平均数不同。,组间方差,（不同样本平均数的方差）与随机误差的方差（,组内方差,）用,F,检验,做比较，若拒绝零假设，则样本平均数的方差是显著的，它们可能抽自平均数不同的总体（样本间存在不同的处理效应）。,8.1,方差分析的基本原理,8.1.3,不同处理效应与不同模型,单因素方差分析,（,one-factor analysis of variance,）,：指需要研究的因素仅一个（或只有一组分组），该因素可有几个不同水平，,分析的目标是看这些水平的影响是否相同,。,在有随机误差的情况下，各水平应有重复。,方差分析中常用,线性统计模型,（,linear statistical model,）,描述观察值：,其中 是在第 水平（处理）下的第 次观测值。是对所有观测值的一个参数，称为,总平均数,（,overall mean,）,。是仅限于对 次处理的一个参数，称为第 次,处理效应,（,treatment effect,）,（或称为,i,水平主效应,）,。,是,随机误差,成分。要求模型中的,，且是互相独立随机变量。注意这里要求各水平有共同的方差 。,方差分析,的目的就是要检验各 的大小和有无,8.1,方差分析的基本原理,8.1.3,不同处理效应与不同模型,每种饲料的营养成份是固定的，其效果也应是固定的。,固定,效应,（,fixed effect,）,：由,固定因素,所引起的效应。,固定因素,（,fixed factor,）,：若因素的 个水平是经过特意选定的，则该因素称为固定因素。如,温度,、,浓度,、,品种,和,方案,等，因素的水平是人为的，所检验的是关于 的假设。,固定效应模型,（,fixed effect model,）,：,处理固定因素所用的模型，简称,固定模型,（,fixed model,）,。,例,用,4,种配合饲料饲养,30,日龄的小鸡，,10,天后计算平均日增重，得表中数据，问,4,种饲料的效果是否相同？,方差分析所得到的结论仅适合于选定的那几个水平，并不能将结论扩展到未加考虑的其它水平上。,8.2,固定效应模型,8.2.1,线性统计模型,反映到线性模型中，就是 是,处理平均数,与,总平均数,的,离差,，它是个常量，可要求,要,检验 个处理效应的相等性，就要判断各 是否都等于,0,。若各 都等于,0,，则各处理效应之间无差异。因此，零假设和备择假设分别为：,：,：（至少有一个,i,）,若,接受 ，则不存在处理效应，每个观测值都是由总平均数加上随机误差所构成。若拒绝 ，则存在处理效应，每个观测值是由总平均数、处理效应和误差三个部分构成。,8.2,固定效应模型,8.2.2,平方和与自由度的分解,方差分析的基本思想,：,将总的变差分解为构成总变差的各个部分之和，然后对它们作统计检验,。,对于单因素实验，可以将,总平方和（,total sum of squares,）,做如下分解：,对于每个固定的 ，,8.2,固定效应模型,8.2.2,平方和与自由度的分解,因此,上式表示度量全部数据变差的,总平方和,，可以分解为,处理平均数与总平均数之间离差,的,平方和,（,度量了处理之间的差异）,及,处理内部观测值与处理平均数之间离差的,平方和,（度量了随机误差）,两个部分。用符号表示为：,8.2,固定效应模型,8.2.2,平方和与自由度的分解,：,总平方和,（,total sum of squares,）,，,：,处理平方和,（,treatment sum of squares,）,，或,处理间平方和,（,sum of squares between treatment,）,，,：,误差平方和,（,error sum of squares,）,，或,处理内平方和,（,sum of squares within treatment,）,，,8.2,固定效应模型,8.2.2,平方和与自由度的分解,自由度,可分解为,：,总自由度,；,A,因素,；,误差,项,。,估计,：,用 除以相应的自由度,，,称为,误差均方,（,error mean square,）,；,称为,处理（间）,均方,:,8.2,固定效应模型,8.2.3,均方期望与统计量,F,是 的无偏估计量,。,误差均方,反映了随机因素所造成的方差的大小，的期望是 ，即随机误差,的方差，它是随机误差的一个估计量。,8.2,固定效应模型,用类似的方法，求 的数学期望：,，所以有 乘积项的数学期望均为,0,。于是,8.2.3,均方期望与统计量,F,对于处理项来说，只有当零假设 ：成立时，项等于,0,，这时 ，因此，用 与 比较，就可以反映出 的大小。,8.2,固定效应模型,为常数，且,可知,=,的期望除了有代表随机误差的 外，还有一项是各水平主效应的平方和，即它代表了各处理间差异的大小。,8.2.3,均方期望与统计量,F,当时 ，则可以认为 与 相差不大，产生的变差是由随机误差造成的，项接近于,0,，接受 假设，处理平均数之间的差异不显著。当 时，显著高于 ，项不再为,0,，拒绝 假设，处理平均数之间的差异显著。,零假设,：，或,：,=0,若 与 相差不大，就可以认为 与,0,的差异不大，或各处理平均数（）间差异不大。反之，则认为 间差异是显著的。,若 不成立，则 ，,F,值有偏大的趋势。因此，可用,F,分布表对,是否成立进行,F,上尾单侧检验,。,令,，具有 ，自由度,8.2,固定效应模型,8.2.3,均方期望与统计量,F,8.2,固定效应模型,8.2.4,平方和的简易计算方法,公式为：,其中 通常称为,校正项（,correction,）,用,C,表示。,例,8.1,调查,5,个不同小麦品系的株高，结果如下：,株 号,品 系,I,II,III,IV,V,1,64.6,64.5,67.8,71.8,69.2,2,65.3,65.3,66.3,72.1,68.2,3,64.8,64.4,67.1,70.0,69.8,4,66.0,63.7,66.8,69.1,68.3,5,65.8,63.9,68.5,71.0,67.5,和,326.5,322.0,336.5,354.0,343.0,平均数,65.3,64.4,67.3,70.8,68.6,8.2,固定效应模型,在方差分析中，为了简化计算，先进行方差分析的编码，将全部数据均减去同一个数，该例中每一个数都减去,65,，得下表,8.2,固定效应模型,序号,品系,总和,1,-0.4,-0.5,2.8,6.8,4.2,2,0.3,0.3,1.3,7.1,3.2,3,-0.2,-0.4,2.1,5.0,4.8,4,1.0,-1.3,1.8,4.1,3.3,5,0.8,-1.1,3.5,6.0,2.5,1.5,-3.0,11.5,29.0,18.0,57.0,2.25,9.00,132.25,841.00,324.00,1308.50,1.93,3.4,29.43,174.46,68.06,277.28,8.2,固定效应模型,习惯上用,“,*,”,表示在 水平上差异显著，用,“,*,”,表示在 水平上差异显著，常称为,差异极显著（,highly significant,）,。,变异来源,平方和,自由度,均方,F,品系间（,SS,A,）,131.74,4,32.94,42.33,*,误差（,SS,e,）,15.58,20,0.78,总和,147.