拉格朗日中值定理及应用

*,1,3.3.1,拉格朗日中值定理,定理,3.3 (,拉格朗日中值定理,),(1),在闭区间,a,b,上连续,;,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,;,使得,3.3,拉格朗日中值定理及其应用,若函数,f,(,x,),满足,:,几何解释,:,分析,:,化为罗尔定理的结论形式,在曲线弧,AB,上至少,有一点,C,在该点处的切,线平行于弦,AB,.,证 作辅助函数,拉格朗日中值公式,即,或,推论,1,设,证,不妨设,例,1,证明当,证,而,故,例,2,证明,证,令,故,证,命题得证,.,例,3,证明当,例,4,设,证,拉格朗日中值定理,使得,即,例,4,设,另证,证,令,罗尔定理,整理得,使得,故,即,推论,2,单调递增,;,单调递减,.,3.3.2,函数的单调性,在,(,a,b,),内可导,.,证,(1),由,拉格朗日定理,在,a,b,上,在,a,b,上,解,例,4,讨论函数 的单调性,.,定义域为,注,1:,推论,2,对于开、闭、有限或无穷区间都正确,.,注,2,:,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,.,例如,函数的单调区间求法,:,若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数,的符号,.,的,分界点,则该区间称为函数的,单调区间,.,导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间,解,定义域为,导数不存在,.,例,5,讨论函数 的单调性,.,解,定义域为,例,6,讨论函数 的单调性,.,导数不存在,;,由,零点定理,例,7,讨论方程 在 内的实根,.,解,原,方程在 内至少有一实根,.,综上所述,原方程在 内有且仅有一个实根,.,因此,原,方程在 内至多有一实根,.,作业,习题,3,.3,(123,页,),2. 3.,(1)(4),5. 6.,(1),8.,