复变函数的积分 (2)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 复变函数的积分,3.,1.1,复积分的概念,设函数 在给定的光滑或逐段光滑曲线 上有定义，且 是以 为起点，为终点的一条有向曲线，如图3.1所示把曲线 任意分成,n,个小弧段，设分点依次为 ,在某小弧段 上任意取一点 ,并作和,.其中 ，令,则当,n,无限增大，且 时，如果无论对,L,的分法及 的取法如何，都有惟一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线,L,的积分，记作 ，即,当,L,为封闭曲线时，那么沿,L,的积分为,称为复变函数 的,闭合环路积分（简称环路积分）,我们称之为,复变函数的积分,，简称,复积分,3.1.2,复积分的计算,由定义可知，当 ，且小弧段长度的最大值 时，不论对,L,的分法如何，点 的取法如何，只要上式右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，由于 连续，则 都是连续函数，根据曲线积分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到,即我们可以把复积分 的计算化为两个二元实变函数的曲线积分为便于记忆公式，可把,理解为 ，则,上式说明了两个问题：,(1),当 是连续函数，且,L,是光滑曲线时，积,分 一定存在；,(2),可以通过两个二元实变函数的线,积分来计算,.,与实函数中二型线积分类比,线积分,复积分,一个复积分的实质是,两个实二型线积分,dz,3.1.3,复积分的基本性质,(1),若 沿,L,可积，且,L,由,L,1,和,L,2,连接而成，则,(2),常数因子,k,可以提到积分号外，即,(3),函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差），即,(4),若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即,为 的负向曲线,(5),积分的模不大于被积表达式模的积分，即,这里 表示弧长的微分。,【,证明,】,因为,，,其中 分别表示曲线 上弧段 对应的弦长和弧长，两边取极限就得到,（6,）积分估值定理 若沿曲线 ，连续，且 在 上满足 ，则,其中 为曲线,L,的长度,长大不等式,【,证明,】,由于 在,L,上恒有 ，,所以,又 ，则,成立。,3.1.4,复积分的计算典型实例,3.1.2,小节提供了一种复积分的计算方法，即把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分当曲线积分的积分路径,C,由参数方程给出时，复积分又可以转化为单变量的定积分,例3.1.1,计算 ，其中,C,为从原点到点3+4,i,的直线段,【解】,直线的方程可写成,或,于是,又因,由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件，所以 的值不论 是怎样的曲线都等于 ，这说明有些函数的积分值与积分路径无关,例题,1,（2）,C：,左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。,解,（,1）,（2,）参数方程为,从上例中可见积分与路径有关。,例题,2,解：,例如,例题,3,证明：,例如,例题,4,解：,可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关。,3.2,柯西积分定理,早在,1825,年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的一条基本定理，现称为,柯西积分定理（简称柯西定理）,定理,3.2.1,柯西积分定理,如果函数 在单连通区域 内及其边界线,L,上解析（即为在单连通闭区域 解析），那么函数 沿边界,L,或区域 内任意闭曲线 的积分为零，即,（,3.2.1,）,或,（,3.2.2,）,作业：,P48:2,3,4,6,