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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,*,第六章 极限定理,6.1,大数定律,10/4/2024,1,6.1.1,切比雪夫不等式,定理,6.1,设随机变量,X,的数学期望与方差都存在，则对任意的,有,或者等价的形式,证：我们就连续型的情形证明；,10/4/2024,2,切比雪夫不等式,可见，当,E(X),，,D(X),已知时，可对事件,发生的概率进行估计。,10/4/2024,3,例,6.1,10/4/2024,4,例,6.1,注,：,由于不知道,X,的分布，故本题只能采用且比雪夫不等式估计概率，如果,X,分布已知，估计的概率误差较大。但切比雪夫不等式在理论中有非常重要的应用,.,10/4/2024,5,随机变量序列的收敛性,定义,6.1,（依概率收敛）设 是随机变量序列，,a,是一个常数；若对任意,0,有,:,则称,依概率收敛于,a,记为：,10/4/2024,6,定理,6.2,随机变量序列,切比雪夫不等式的应用,若,存在，且,满足,证：由切比雪夫不等式,两边取极限即可,10/4/2024,7,定理,6.3,（切比雪夫大数定律）对独立的随机变量序列,6.1.2,大数定律,（,1,）,都存在；,若满足,（,2,）方差有限，即存在常数 ，使得,则有,10/4/2024,8,定理,6.3,10/4/2024,9,定理,6.3,10/4/2024,10,两个推论,推论,1,（独立同分布大数定律）设,则,注,:,是独立的随机变量序列，且,10/4/2024,11,推论,2,在,n,次贝努利试验中，事件,A,发生,且,A,发生的概率为,，则,贝努利大数定律,的频率为,证,:,10/4/2024,12,推论,2,由推论,1,有,此定理说明了频率的稳定性。,10/4/2024,13,例,6.2,10/4/2024,14,例,6.2,10/4/2024,15,例,6.3,10/4/2024,16,例,6.3,10/4/2024,17,课堂练习,10/4/2024,18,6.2,中心极限定理,定理,6.4,（林德伯格,-,列维）设随机变量序列,独立同分布，且,记,则对任意,，有,10/4/2024,19,定理含义（渐近正态性）,独立同分布的随机变量之和,将,标准化：,得到新的随机,变量,，,的分布函数的极限函数是,标准正态分布。也就是说，可近似地认为：,10/4/2024,20,独立同分布中心极限定理,10/4/2024,21,独立同分布中心极限定理,10/4/2024,22,棣莫佛拉普拉斯定理,定理,6.5,设随机变量 服从参数,n,，,p(0p1),二项分布，则对任意,x,，有,上述定理说明，二项分布的渐近正态性。,10/4/2024,23,证明：因为,其中,Y,1,，,Y,2,，,，,Y,n,相互独立且都服从于,(0-1),分布。 且有,EY,k,=p,，,DY,k,=,pq,，,k=1,，,2,，,，,n.,由中心极限定理知结论成立,.,10/4/2024,24,推论,充分大时，有,10/4/2024,25,例,6.4,计算机在进行数值计算时，其取整误差,若在一项计算中进行了,100,次数值计算，求平均取整误差绝对值,小于,0.1,的概率。,解：令,表示各次数值计算,的取整误差，则,独立同分,布于,且,平均误差为,10/4/2024,26,例,6.4,由中心极限定理，近似地有,于是,10/4/2024,27,例,6.5,10/4/2024,28,例,6.5,10/4/2024,29,例,6.5,10/4/2024,30,10/4/2024,31,
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