第3章 系统时域分析(3)

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,信号与系统,Signals and Systems,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,信号与系统,陈后金，胡健，薛健,高等教育出版社，,2007,年,系统的时域分析,线性时不变系统的描述及特点,连续时间,LTI,系统的响应,连续时间系统的冲激响应,卷积积分及其性质,离散时间,LTI,系统的响应,离散时间系统的单位脉冲响应,卷积和及其性质,冲激响应表示的系统特性,线性时不变系统,的描述及特点,连续时间系统,用,N,阶常系数微分方程,描述,a,i,、,b,j,为常数。,离散时间系统,用,N,阶常系数差分方程,描述,a,i,、,b,j,为常数。,线性时不变系统,的描述,线性时不变系统,的描述及特点,线性时不变系统,的特点,LTI,系统,除具有,线性特性,和,时不变特性,外，还具有,:,1,）微分特性与差分特性：,若,T,x,(,t,)=,y,(,t,),则,若,T,x,k,=,y,k,则,T,x,k,-,x,k,-1,=,y,k,-,y,k,-1,2,）积分特性与求和特性：,若,T,x,(,t,)=,y,(,t,),则,若,T,x,k,=,y,k,则,离散时间,LTI,系统,的响应,迭代法求系统响应,经典时域法求系统响应,卷积法求系统响应,零输入响应求解,零状态响应求解,离散时间,LTI,系统,的响应,离散时间,LTI,系统,的,数学模型,为,2,.,经典时域分析方法,:,求解差分方程,3,.,卷积法,:,系统完全响应,=,零输入响应,+,零状态响应,求解齐次差分方程得到,零输入响应,利用卷积和可求出,零状态响应,系统响应求解方法,:,1,.,迭代法,:,一、,迭代法,已知,n,个,初始状态,y,-,1,y,-,2,y,-,2,y,-,n,和,输入,，由差分方程迭代出系统的输出。,例,一阶线性常系数差分方程,y,k,-,0.5,y,k,-,1=,u,k,y,-,1=1,，,用迭代法求解差分方程。,解：,将差分方程写成,代入初始状态，可求得,依此类推,缺点：很难得到闭合形式的解。,二、,经典时域分析方法,差分方程的全解即系统的完全响应,由,齐次解,y,h,k,和,特解,y,p,k,组成,:,齐次解,y,h,k,的形式由齐次方程的,特征根,确定,特解,y,p,k,的形式由方程右边,激励信号,的形式确定,二、,经典时域分析方法,(1),特征根是不等实根,r,1,r,2,r,n,(2),特征根是等实根,r,1,=,r,2,=,=,r,n,(3),特征根是成对共轭复根,齐次解,的形式,二、,经典时域分析方法,常用激励信号对应的,特解,形式,a,k,(,a,不是特征根,),a,k,(,a,是特征根,),例,已知某二阶,线性时不变离散时间系统,的差分方程,y,k,-,5,y,k,-,1+6,y,k,-,2=,x,k,初始条件,y,0=0,，,y,1=,-,1,，,输入信号,x,k,=2,k,u,k,，,求系统的完全响应,y,k,。,特征根,为,齐次解,y,h,k,解,：,(1),求齐次方程,y,k,-,5,y,k,-,1+6,y,k,-,2=0,的,齐次解,y,h,k,特征方程,为,解：,(2),求非齐次方程,y,k,-,5,y,k,-,1+6,y,k,-,2=,x,k,的,特解,y,p,k,由输入,x,k,的形式，设方程的,特解,为,将,特解,带入原差分方程即可求得常数,A,=,-,2,。,例,已知某二阶,线性时不变离散时间系统,的差分方程,y,k,-,5,y,k,-,1+6,y,k,-,2=,x,k,初始条件,y,0=0,，,y,1=,-,1,，,输入信号,x,k,=2,k,u,k,，,求系统的完全响应,y,k,。,解：,(3),求方程的,全解，即,系统的完全响应,y,k,解得,C,1,=,-,1,，,C,2,=,1,例,已知某二阶,线性时不变离散时间系统,的差分方程,y,k,-,5,y,k,-,1+6,y,k,-,2=,x,k,初始条件,y,0=0,，,y,1=,-,1,，,输入信号,x,k,=2,k,u,k,，,求系统的完全响应,y,k,。,讨论,1,),若,初始条件,不变，,输入信号,x,k,=sin,0,k,u,k,，,则系统的完全响应,y,k,=,？,2,),若,输入信号,不变，,初始条件,y,0=1,y,1=1,则系统的完全响应,y,k,=,？,经典法不足之处,若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。,若激励信号发生变化，则须全部重新求解。,若初始条件发生变化，则须全部重新求解。,这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。,三、,卷积法,系统完全响应,=,零输入响应,+,零状态响应,1,.,系统的零输入响应,是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。,数学模型,:,求解方法：,根据差分方程的,特征根,确定,零输入响应,的形式,再由,初始状态,确定待定系数。,例,已知某,线性时不变系统,的动态方程式为,:,y,k,+3,y,k,-,1+2,y,k,-,2=,x,k,系统的初始状态为,y,-,1=0,，,y,-,2=1/2,，,求系统的,零输入响应,y,zi,k,。,解,：,系统的,特征方程,为,系统的,特征根,为,解得,C,1,=1,，,C,2,=,-,2,例,已知某,线性时不变系统,的动态方程式为,:,y,k,+4,y,k,-,1+4,y,k,-,2=,x,k,系统的初始状态为,y,-,1=0,，,y,-,2=1/2,，,求系统的,零输入响应,y,zi,k,。,解,：,系统的,特征方程,为,系统的,特征根,为,（两相等实根）,解得,C,1,=4,C,2,=4,例,已知某,线性时不变系统,的动态方程式为,:,y,k,-,0.5,y,k,-,1+,y,k,-,2,-,0.5,y,k,-,3=,x,k,系统的初始状态为,y,-,1=2,，,y,-,2=,-,1,，,y,-,3=8,，,求系统的,零输入响应,y,zi,k,。,解,：,系统的,特征方程,为,系统的,特征根,为,解得,C,1,=1,，,C,2,=0,，,C,5,=5,三、,卷积法,系统完全响应,=,零输入响应,+,零状态响应,求解,系统的零状态响应,y,zs,k,方法：,1),直接求解,初始状态为零的差分方程。,2),卷积法：,利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。,当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励,x,k,产生的响应称为,系统的零状态响应,，用,y,zs,k,表示。,2,.,系统的零状态响应,卷积法求解,系统零状态响应,y,zs,k,的思路,1,),将任意信号分解为,单位脉冲序列,的线性组合,2,),求出,单位脉冲序列,作用在系统上的响应,单位脉冲响应,3,),利用,线性时不变系统,的特性，即可求出任意序列,x,k,激励下系统的,零状态响应,y,zs,k,。,卷积法求解,系统零状态响应,y,zs,k,推导,由,时不变特性,由,均匀特性,由,叠加特性,例,若描述某离散系统的差分方程为,:,已知,求系统的,零状态响应,y,zs,k,。,解：,