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,書式設定,書式設定,第,2,第,3,第,4,第,5,*,工程弹塑性力学,浙江大学 建筑工程学院,第七章 塑性本构关系,第七章 塑性本构关系,7.1 弹性本构关系,7.2 塑性全量理论,7.3,Drucker,公设,7.4 加载和卸载准则,7.5 塑性增量理论,7.6 简单加载定律,7.0,绪论,塑性本构关系,：,从宏观上讨论变形固体在塑性状态下的应力-应变关系，反映材料进入塑性以后的力学特性。,两类塑性本构关系,:,全量理论,/,形变理论,增量理论,/,流动理论,建立在弹塑性小变形理论上，它建立了应力与应变全量间的关系。,描述材料在塑性状态时,应力与应变速度,或,应变增量之间,关系的理论,均与,Drucker,公设有密切关系,直角坐标系中的的应力应变表达式,(7.1),弹性模量,7.1,弹性本构关系,-,广义虎克定律,泊松比,(7.2),7.1,弹性本构关系,-,广义虎克定律,(7.2),(7.3),用张量表示：,3,个正应变相加：,(7.4),或,对于不可压缩固体，,=1/2,7.1,弹性本构关系,-,广义虎克定律,(7.5),(7.2),方程互减：,(7.6),(7.7),以主应力形式表示,:,应力,Mohr,圆和应变,Mohr,圆相似，应力和应变主轴重合。,7.1,弹性本构关系,(7.8),用应力应变偏量表示：,(7.9),(7.7),代入,应力偏量分量和应变偏量分量成正比。,形状改变只是由应力偏量引起的。,等效剪应力,等效剪应变,同理：,等效正应力,式,(1.41),等效正应变,式,(1.54),(7.10),7.1,弹性本构关系,加载,卸载,(7.11),应力应变增量间满足广义虎克定律,(1),、,在弹性变形中应力主轴与应变主轴是重合的；,(2),、,平均应力与平均变形,(,或称体积变形,),成比例；,(3),、,应力偏量分量与应变偏量分量成比例；,(4),、,等效正应力与等效正应变成比例。,7.1,弹性本构关系,弹性应变比能,(7.12),单位体积内的弹性应变能,体积变形比能,形状改变弹性比能,成正比,Mises,屈服条件,也可称为,最大弹性形变能条件,7.2,塑性全量理论,全量理论的假定：,(7.14),应力主方向与应变主方向重合，在整个加载过程中主方向保持不变。,平均应力与平均应变成比例。,应力偏量分量与应变偏量分量成比例。,等效正应力是等效正应变的函数，对每个具体材料都应通过实验来确定。,应力,Mohr,圆与应变,Mohr,圆相似，应力,Lode,参数和应变,Lode,参数相等。,和塑性变形程度有关,7.2,塑性全量理论,(7.15),G,与材料性质和塑性变形程度有关,(7.16),应力偏量分量和应变偏量分量成正比,(7.17),7.2,塑性全量理论,(7.18),(7.20),(7.19),由式,(7.17),得,:,设物体的体积是不可压缩的，即,=1/2,(7.21),7.2,塑性全量理论,由式,(7.17)，(7.20),得,:,(7.22),与广义虎克定律形式上非常相似,解决具体问题比弹性力学复杂很多,7.2,塑性全量理论,a,c,b,O,图,7.1,单向拉伸曲线,(7.25),在弹性极限内,复杂应力状态,下,:,(7.26),(7.28),(7.27),在,单向拉伸,状态下,:,(7.9),形式上非常相似,根据单一曲线假定,:,7.2,塑性全量理论,(7.28),=1/2,由右图几何条件可得,:,(7.29),a,c,b,O,(7.30),空间的应力状态问题转化为简单拉伸应力状态问题,7.2,塑性全量理论,(7.17),(7.31),(7.32),7.2,塑性全量理论,(7.33),总应变,=,弹性应变,+,塑性应变,由式,(7.33)(7.22),7.2,塑性全量理论,(7.34),(7.34),或,:,7.2,塑性全量理论,理想弹塑性材料,E,的表达式,O,A,(a),理想弹塑性材料,图,7.2,理想塑性模型,E,在弹性区域内,(OA),在塑性区域内,(AE),7.2,塑性全量理论,线性强化弹塑性材料,E,的表达式,在塑性区域内,(AE),O,a,b,d,c,(b),理想弹塑性强化材料,图,7.2,理想塑性模型,(7.36),这些物理关系对于塑性体或者是对于物理关系是非线性的弹性体在,主动变形时,都是适用的。,7.3,Drucker,公设,应力应变曲线形式,O,O,O,(a),(b),(c),图,7.3,应力应变曲线形式,应力增加应变减少,不可能现象,7.3,Drucker,公设,公设的叙述：,考虑某应力循环，开始应力,0,ij,在加载面内，然后达到,ij,，刚好在加载面上，再继续在加载面上加载到,ij,+,d,ij,，在这一阶段，将产生塑性应变,d,p,ij,。最后将应力又卸回到,0,ij,。若在整个应力循环过程中，附加应力,ij,-,d,ij,所做的塑性功不小于零，则这种材料就是稳定的。,图,7.4,应力循环路径,(7.37),应力循环过程中外载所做的功：,7.3,Drucker,公设,(7.38),判断材料稳定性的条件,:,O,图,7.5,一维的应力循环,因弹性应变在应力循环中可逆,(7.39),(7.40),对于稳定材料阴影面积一定不会小于零,7.3,Drucker,公设,两个矢量的夹角是锐角。,O,图,7.6,(7.39),(7.41),(7.43),加载面外凸才有可能。,(7.42),7.3,Drucker,公设,塑性应变增量各分量之间的比例可由,ij,在加载面,上的位置决定，与,d,ij,无关。,n,图,7.7,(7.44),(7.42),(7.45),只有当应力增量指向加载面的外部时才能产生塑性变形。,加载准则,7.4,加载和卸载准则,(7.46),理想塑性材料的加载和卸载,加载面和屈服面一样,加卸载准则的数学形式,:,弹性状态,加载,卸载,7.4,加载和卸载准则,(7.47),理想塑性材料的加载和卸载,在应力空间中的形式,:,加载,卸载,加载,图,7.8,卸载,由于屈服面不能扩大，,d,不能指向屈服面外,7.4,加载和卸载准则,(7.48),理想塑性材料的加载和卸载,光滑面交界处的加卸载准则,:,加载,卸载,加载,卸载,加载,图,7.9,(7.49),加载,卸载,总之，应力增量保持在屈服面上就称为,加载,；返到屈服面以内时就称为,卸载,。,7.4,加载和卸载准则,强化材料的加卸载准则：,不同点：加载面允许向外扩张,(7.50),加载,卸载,中性变载,：相当于应力点沿加载面切向变化，加载面并未扩大的情形。,卸载,加载,n,中性变载,加载曲面,图,7.10,中性变载,(7.51),加载,卸载,中性变载,数学表达,7.5,理想塑性材料的增量关系,(7.52),进入塑性状态的应变增量表达式,流动法则,应力应变增量关系与屈服条件相联系,(7.44),7.5,理想塑性材料的增量关系,(7.53),一,、与,Mises,屈服条件相关连的流动法则,(7.54),加上弹性应变增量,Prandtl-Reuss,关系,(7.55),Levy-Mises,关系,略去弹性应变,7.5,理想塑性材料的增量关系,一,、与,Mises,屈服条件相关连的流动法则,(7.56),(7.57),变换,7.5,理想塑性材料的增量关系,一,、与,Mises,屈服条件相关连的流动法则,(7.58),O,3,2,1,图,7.11,7.5,理想塑性材料的增量关系,二、与,Tresca,屈服条件相关连的流动法则,(7.59),主应力空间的屈服面,当应力点处在,f,1,=0,面上时,:,(7.60),当应力点处在,f,2,=0,面上时,:,(7.61),7.5,理想塑性材料的增量关系,二、与,Tresca,屈服条件相关连的流动法则,当应力点处在,f,1,=0,及,f,2,=0,交点,上时,:,(7.62),f,1,=0,f,2,=0,n,1,n,2,f,1,=0,f,2,=0,图,7.12,(a),(b),7.6,强化材料的增量关系,假设,:,(7.63),强化模量,(7.64),Mises,等向强化模型,依赖于加载面的变化规律,(7.65),(7.66),(7.67),7.6,强化材料的增量关系,(7.67),(7.68),(7.69),自乘,自乘,7.6,强化材料的增量关系,(7.70),(7.71),可由简单拉伸的曲线来确定,线性强化时,:,(7.72),7.7,简单加载定律,一、简单加载,如果应力的加载路径已知,可以通过对增量应力应变的积分,得到应力和应变的全量关系,(7.73),O,3,2,1,图,7.13,简单加载,主方向不变,由,(7.63),确定,与理想塑性的,Prandtl-Reuss,关系形式一样,7.7,简单加载定律,一、简单加载,(7.74),应力按比例增加,:,令,:,(7.75),7.7,简单加载定律,一、简单加载,应用,:,(7.76),(7.77),单一曲线假定,:,7.7,简单加载定律,一、简单加载,全量关系表达式,:,(7.78),(7.79),或者,:,7.7,简单加载定律,二、简单加载定理,依留辛条件,:,1,、小变形；,2,、,=1/2,；,3,、外载按比例单调增长；如有位移边界条件，,只能是零位移边界条件；,4,、材料的 曲线具有 形式。,基本的必要条件,
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