第一节常数项级数

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,第十一章,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,*四、柯西审敛原理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一节,第十一章,一、常数项级数的概念,引例,1.,用圆内接正多边形面积逼近圆面积,.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积,A,.,设,a,0,表示,即,内接正三角形面积,a,k,表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例,2.,小球从,1,米高处自由落下,每次跳起的高度减,少一半,问小球是否会在某时刻停止运动,?,说明道理,.,由自由落体运动方程,知,则小球运动的时间为,(s),设,t,k,表示第,k,次小球落地的时间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为,无穷级数,，,其中第,n,项,叫做级数的,一般项,级数的前,n,项和,称为级数的,部分和,.,次相加,简记为,收敛,则称无穷级数,并称,S,为级数的,和,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当级数收敛时,称差值,为级数的,余项,.,则称无穷级数,发散,.,显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,讨论等比级数,(,又称几何级数,),(,q,称为公比,),的敛散性,.,解,:,1),若,从而,因此级数收敛,从而,则部分和,因此级数发散,.,其和为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2).,若,因此级数发散,;,因此,n,为奇数,n,为偶数,从而,综合,1),、,2),可知,时,等比级数收敛,;,时,等比级数发散,.,则,级数成为,不存在,因此级数发散,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,判别下列级数的敛散性,:,解,:,(1),所以级数,(1),发散,;,技巧,:,利用“,拆项相消,”求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),所以级数,(2),收敛,其和为,1.,技巧,:,利用“,拆项相消,”求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,判别级数,的敛散性,.,解,:,故原级数收敛,其和为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、无穷级数的基本性质,性质,1.,若级数,收敛于,S,则各项,乘以常数,c,所得级数,也收敛,证,:,令,则,这说明,收敛,其和为,c S.,说明,:,级数各项乘以,非零常数,后其敛散性不变,.,即,其和为,c S.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质,2.,设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,证,:,令,则,这说明级数,也收敛,其和为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,:,(2),若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散,.,但若二级数都发散,不一定发散,.,例如,(1),性质,2,表明收敛级数可逐项相加或减,.,(,用反证法可证,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质,3.,在级数前面加上或去掉,有限项,不会影响级数,的敛散性,.,证,:,将级数,的前,k,项去掉,的部分和为,数敛散性相同,.,当级数收敛时,其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况,.,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质,4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和,.,证,:,设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,推论,:,若加括弧后的级数发散,则原级数必发散,.,注意,:,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,.,但,发散,.,因此必有,例如,，,用反证法可证,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,判断级数的敛散性,:,解,:,考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、级数收敛的必要条件,设收敛级数,则必有,证,:,可见,:,若级数的一般项不趋于,0,则级数必发散,.,例如,其一般项为,不趋于,0,因此这个级数发散,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意,:,并非级数收敛的充分条件,.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散,.,事实上,假设调和级数收敛于,S,则,但,矛盾,!,所以假设不真,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,判断下列级数的敛散性,若收敛求其和,:,解,:,(1),令,则,故,从而,这说明级数,(1),发散,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛,其和为,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,这说明原级数收敛,其和为,3.,(3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,的充要条件是,:,*四、柯西审敛原理,定理,.,有,证,:,设所给级数部分和数列为,因为,所以,利用数列,的柯西审敛原理,(,第一章,第六节,),即得本定理的结论,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6.,解,:,有,利用柯西审敛原理判别级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当,n,N,时,都有,由柯西审敛原理可知,级数,作业,P192 1,(1),(3),；,2,(2),(3),(4),；,3,(2),；,4,(1),(3),(5);,*,5,(3),(4),第二节 目录 上页 下页 返回 结束,