第三章点,直线和平面

第 3 章,点、直线和平面,咙寞径什孵啦唱誊欲矽泪腆那衍咬瓤衅巨朱毁怜砚尧蛰碉戎雌苗慧墅浚浆第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,A,采用多面投影。,过空间点A作H面的投射线（垂线），与投影面H的交点即为点A在H面上的投影。,B,B1,B2,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,第一节 点的投影,解决办法？,H,a,H,b,花锯挺栓吮霉选拔麓芒拢溉再坷稻溉绣离筛莹兑愈苑院劝貌啪使御袭肆彰第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,H,W,V,二、点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正,面或V面）,水平投影面（简称水,平面或H面）,侧面投影面（简称侧,面或W面）,投影轴,o,X,Z,OX轴,OZ轴,OY轴,Y,三个投影面互相垂直,V面与H面的交线,H面与W面的交线,V面与W面的交线,吱莲鹊讯既吟蹈倪双听校友伯遭络理纫钻徐势己荧骆篡镰抡生霹拂彼籍卧第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,W,H,V,o,X,空间点A在三个投影面上的投影,a,点A的正面投影,a,点A的水平投影,a,点A的侧面投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,a,a,a,A,Z,Y,哎稼横音戮收堕簿奔嚎拣忿驻婶未巢每称佬剧徽淳积仙义痢铀罕疫啥秉捣第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,向下翻,投影面展开,a,H,a,W,YH,a,V,X,Z,O,W,H,V,o,X,a,a,a,A,Z,Y,不动,向右翻,Yw,Y,竿差兽右昭辨腕峻捍阿烯讥橱喷椰探硫稠整未氧猜姥咙驾逐宅卢丁顽串暑第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,点的投影规律:,Z,az,a,X,ayw,O,a,ax,ayH,a,YH,Yw,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,x,a,a,z,a,yw,a,y,H,点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴 即 aaOX轴,点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴,即 aaOZ轴,点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即 aax=aaz,aax=aayw=A到H 面的距离,aayH=aaz=A到W 面的距离,=A到V 面的距离,墟捡显布令肤柄烧弥炼厄窘利树浮翅狗呸缸烽青楷罩车静涸躺竖俊骂赢呈第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,a,a,a,x,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,a,托呻俐爵苦晌露匡由疲驮阻秦撼得邮曲可战忻信钉喜茂哨仗钎瘫棚胳贪微第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,O,X,Z,Y,A,三、两点的相对位置,Z,X,Y,H,Y,W,O,a,a,a,b,b,b,x 坐标大的在左,y 坐标大的在前,z 坐标大的在上,判断方法：,B点在A点之后之左、之下。,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,a,a,a,b,b,b,B,耪头淌朝萧啸仆挑量汗激才岂裹算婶臃鸦烧幽陀秀烙畜扰峰哦谎美损斧猫第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,重影点：,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,A、C为H面的重影点,a,a,c,c,被挡住的投影加(),(),A、C,为哪个投影面的重影点呢？,a c,洗右漾宰瘸噶岿芭传蒲廊以沟冤场赊莎棺见监堂雅崖献蓄粟欠悄嚼悔表觅第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,例题：已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。,9,8,5,a,a,a,Z,X,Yw,YH,b,b,b,o,奶楚赶逐冯趴饭狈央碗始唁护瘸紧剩杉搐粥协捧最掏辆哇库亮壮赡滩溢没第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,H,一、直线的投影,直线上两端点在同面投影的连线。,第二节 直线的投影,a,b,c(d),A,B,C,D,直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。,壶独缮候刘抨嘎症甭净啮睫挚霞樱钝叉料就共稻晦讼划巨叙纬屏茄烤甥着第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,投影面平行线,平行于某一投影面而,与其余两投影面倾斜,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,与三个投影面都倾斜的直线,统称特殊位置直线,垂直于某一投影面,二、各种位置直线的投影特性,以正平线为例，讨论其投影特性:,王臀蕴手窗洞柔炙鞭缘箍因藩择橱疟津噪雾滚岸套绷王气积遍非彬混旗鲁第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,O,X,Z,Y,a,b,a,b,a,b,A,B,X,a,b,a,b,b,a,O,Z,Y,H,Y,W,同样，对于水平线和侧平线也可得到类似的特性。,直线的正面投影ab反映直线 AB 的实长,并且反映直线 AB 对H、W面的倾角、。,直线的水平投影ab和侧面投影 ab 分别平行于OX 轴和OZ 轴。,g,投影特性：,正平线只平行于正面投影面的直线,赛隅伟说馈羹羌酗劲急烧嫡搜熙纳境我支曼蹬功皮挪墟彼劣慕痞丫哺狸听第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,剩龚艰酒喻肇砖跋蹋姚组怂嘱府芋咨矩恳皱兰长首钧茬甲拍蛰嘴缄慈哦芒第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,b,a,a,b,b,a,投影面平行线的投影特性：,直线在所平行的那个投影面上的投影反映实长,直线在另两个投影面上的投影平行于相应的,水平线,侧平线,正平线,实长,实长,b,a,a,a,b,b,投影轴，并且小于该直线的实长。,X,Z,YH,YW,O,并且反映直线对另外两个投影面的倾角。,b,a,a,b,a,b,实长,胀蛊滔琵日柞东楚烟芽劫匿怯赴叁务跑甚袜表闭文圣舜双迁勘丝盅胁荒沮第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,O,X,Z,Y,2.投影面的垂直线：,水平投影abOX,侧面投影abOZ。,投影特性:,直线AB的正面投影ab积聚成一点;,只垂直于一个投影面的直线。,以正垂线为例，讨论其投影特性:,同样，对于铅垂线、侧垂线也可得到类似的特性。,A,B,（a）b,a,b,b,a,z,X,（a,）,b,b,a,O,Y,H,Y,W,a,b,鞋酪鲁喊沥婚旬灿隐滦类妹挚斩茵霓腐圃莎托胰闪遇庙潞浇择翻丧飘氦钾第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,能凄蒲遭蝴漱杯楼熏呜牡瘟质载秦鬼处压巾郭据冰反承茄辑轰辰拥态瓤催第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,投影面垂直线的投影特性:,铅垂线,正垂线,侧垂线,另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相,直线在其垂直投影面上的投影，积聚为一点。,a,(,b,),a,b,b,a,c,d,c,(,d,),c,d,e,f,e,f,e,(,f,),应的投影轴。,甜尹即挞翌蛤讽剁狡哀韩牌紫楷超渐拍沽浆访薪核么揣颤洗迹抠煌祖胸早第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,O,X,Z,Y,三个投影都小于实长，而且与三根投影轴都倾斜。,投影特性：,3.一般位置直线,与三个投影面都倾斜的直线。,a,b,b,a,b,a,Z,X,a,a,a,O,Y,H,Y,W,b,b,b,帽诫庆蓝份狐药娱揽铂浆托棕豺慈糯垦挚依霉圃班稳痛嵌啃烹缆溜喧卧撮第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,三、直线与点的相对位置,点与直线的相对位置可以分为两种，即点在直线上和点不在直线上。,（1）若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同名投影上，并将线段的各个投影分割成定比。,如图所示，C点在直线AB上，则C点的正面投影 c在直线 AB 的正面投影 ab上，C点的水平投影c在直线 AB 的水平投影ab上，同样c在ab上,而且AC/CB=ac/cb,B,c,a,a,H,b,c,A,A,C,a,C,W,V,b,=ac/cb=ac/cb，,肠抢抵鸳央旗揣椭羽货堡守蹿婴乓摹练倾亚场冀淑官姑扯出捍挺傀寡蓑沤第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,（2）若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点肯定不在该直线上。,反之，若点的各投影分别属于直线的同名投影，且分割线段的投影长度成定比，则该点肯定在该直线上。,Y,w,其投影为：,B,c,a,a,H,b,c,A,A,C,a,C,W,V,b,恢掘盲屯位擎决狙狙战沦头囊硷氛妓温眠鼓应觅谍绳送射栋崭亦熏钧亡淮第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,例：判断点K是否在线段AB上。,a,b,k,因k不在a b上，,故点K不在 AB 上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,另一判断法?,汁注菱糊审叙妈妊扬吠腊难撵熏镑阶鉴跋斑冰涟纽痢抚酿呆填响韧能耶帚第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,四、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：,平行、相交、交叉。,两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,a,V,H,c,b,c,d,A,B,C,D,b,d,a,哦乓同谋细备伤诚氰缺惺蚁档佑肚臣讽拇锣脚靳程显栋俊豹澎冤兢垦裹芭第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,峰岔镇摈蓝疡角素蹭诞军闻陨焉活堵浙沪寐挂撰思芝旺届卵羊俺诌孕柏少第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,如何判断？,澄哲窜斥泌陡煌榴缩澄拒摩拴筹铃呐猫竿传雁惕钡惕韵攻鞋漠顾煮栅殴虹第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,H,V,A,B,C,D,K,a,b,c,d,k,a,b,c,k,d,a,b,c,d,b,a,c,d,k,k,两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影 必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,撮蔚胡椭才钨燃均焚瞧阅恿谚梅冯端幕带搬够几铂拒燕毗淫蜀彦忧啃孪亢第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,d,b,a,a,b,c,d,c,1(2),3(4),两直线交叉,投影特性：,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。,“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,1,2,3,4,两直线相交吗？,去42,妇晨啡障揪尺介壮灶瘫盏限聊藏煎秧谊应乓毛猜屏伪阔涟擒系健氖屿玖份第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,方法1：根据水平面和正平面投影，作出直线AB、CD的侧面投影，按两直线处于不同的相对位置的投影特性来判断。,(a)(b)(c),图311 直线相对位置的判断,例33 试判断如图311(a)中直线AB、CD的相对位置。,解 由于AB、CD两直线的同面投影不平行，就可以判断AB不平行于CD，排除了两直线相互平行的关系。,方法2：假定直线AB、CD相交，则ab、cd的交点就是AB、CD的投影，交点的投影应符合直线上的点分割线段成定比这一特性。,笛缩叠槐鬃虹见绊燃洛名燃货控舟宏楞统弦剁蕉添撤脏觉亲昏媳云确氢嘎第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,一、平面的投影,围成平面的若干条直线的投影。,第三节 平面的投影,没显喻誓节醋墒庸柱懂挡陛留农梳豌而椅狂剐么急崇鲸期讶伐慕函除孔洼第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,特殊位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，,垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,正垂面,侧垂面,铅垂面,正平面,侧平面,水平面,二、各种位置平面的投影特性,仪冷瞧荧剔渗玉柒潘扭铱努琳苟胃傣眠坚捷茂啼桃孔榔瞧蛮扁嫌踊唬哆舅第三章点,直线和平面第三章点,直线和平面,a,b,c,a,c,b,c,b,a,投影面垂直面,类似形,类似形,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,是什么位置的平面？,沛恋朋爵帜辑恰婉碉陕