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4.1.2,圆的一般方程,1.,掌握圆的一般方程的形式，熟练掌握圆的两种方程的互化,.,2.,会用待定系数法求圆的一般方程,.,3.,了解几种求轨迹方程的方法,.,(1),形式：,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0,化为标准方程为,_,_.,(2),条件：,_,圆心为,_,半径为,_.,特别地,当,D,2,+E,2,-4F=0,时,方程表示点：,_.,当,D,2,+E,2,-4F0,不表示任何图形,1.“,判一判”理清知识的疑惑点,(,正确的打“”,错误的打“,”).,(1),平面内任一圆的方程都是关于,x,y,的二元二次方程,.(,),(2),圆的一般方程和圆的标准方程可以互化,.(,),(3),形如,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0,的方程都表示圆,.(,),(4),方程,x,2,+y,2,-2x+Ey+1=0,表示圆,则,E0.(,),提示：,(1),正确,.,因为 可化为,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0,均是关于,x,y,的二元二次方程,.,(2),正确,.,圆的一般方程与圆的标准方程可以互化,.,(3),错误,.,少了条件,D,2,+E,2,-4F0.,(4),正确,.,因为,D,2,+E,2,-4F=4+E,2,-40,则,E0.,答案：,(1),(2),(3),(4),2.“,练一练”尝试知识的应用点,(,请把正确的答案写在横线上,).,(1),圆的标准方程,(x-1),2,+(y-3),2,=1,化为一般方程为,.,(2),若圆的一般方程为,x,2,+y,2,+4x+2=0,则圆心坐标为,半径为,.,(3),若方程,x,2,+y,2,-x+y+m=0,表示圆的方程,则,m,的取值范围是,.,【,解析,】,(1),因为,(x-1),2,+(y-3),2,=1,所以,x,2,+y,2,-2x-6y+9=0.,答案：,x,2,+y,2,-2x-6y+9=0,(2),因为,x,2,+y,2,+4x+2=0,化为标准方程为,(x+2),2,+y,2,=2,所以圆心为,(-2,0),半径为,.,答案：,(-2,0),(3),因为方程,x,2,+y,2,-x+y+m=0,表示圆的方程,所以,(-1),2,+1,2,-4m0,所以,m .,答案：,m0,通常情况下先配成,(x-a),2,+(y-b),2,=m,通过观察,m,与,0,的关系,说明方程是否为圆的一般方程,而不要死记条件,D,2,+E,2,-4F0.,类型 一,二元二次方程与圆的关系,尝试完成下列题目,归纳一个关于,x,y,的二元二次方程表示圆的两种判断方法,.,1.(2013,晋江高一检测,),方程,x,2,+y,2,+2x-4y-6=0,表示的图形是,(,),A.,以,(1,-2),为圆心,为半径的圆,B.,以,(1,2),为圆心,为半径的圆,C.,以,(-1,-2),为圆心,为半径的圆,D.,以,(-1,2),为圆心,为半径的圆,2.,方程,x,2,+y,2,-4mx+2my+20m-20=0,能否表示圆,?,若能表示圆,求,出圆心和半径,.,【,解题指南,】,1.,将圆的一般方程化为标准方程即可确定圆心与半径,.,2.,本题可直接利用,D,2,+E,2,-4F0,是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数,.,【,解析,】,1.,选,D.,将方程,x,2,+y,2,+2x-4y-6=0,化为,(x+1),2,+(y-2),2,=11,因此,圆心为,(-1,2),半径为,.,2.,方法一：由方程,x,2,+y,2,-4mx+2my+20m-20=0,可知,D=-4m,E=2m,F=20m-20,所以,D,2,+E,2,-4F=16m,2,+4m,2,-80m+80=20(m-2),2,因此,当,m=2,时,D,2,+E,2,-4F=0,它表示一个点,当,m2,时,D,2,+E,2,-4F0,原方程表示圆的方程,此时,圆的圆心为,(2m,-m),半径为,方法二：原方程可化为,(x-2m),2,+(y+m),2,=5(m-2),2,因此,当,m=2,时,它表示一个点,当,m2,时,原方程表示圆的方程,.,此时,圆的圆心为,(2m,-m),半径为,r= |m-2|.,【,技法点拨,】,方程,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0,表示圆的两种判断方法,(1),配方法,.,对形如,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0,的二元二次方程可以通过配方变形成,“,标准,”,形式后,观察是否表示圆,.,(2),运用圆的一般方程的判断方法求解,.,即通过判断,D,2,+E,2,-4F,是否为正,确定它是否表示圆,.,提醒：,在利用,D,2,+E,2,-4F0,来判断二元二次方程是否表示圆时,务必注意,x,2,及,y,2,的系数,.,类型 二,圆的一般方程的求法,通过解答下列求圆的一般方程的题目,试总结用待定系数,法求圆的一般方程的步骤及两种方程形式选择的标准,.,1.,过点,(-1,1),且圆心与圆,x,2,+y,2,-6x-8y+15=0,的圆心相同的圆,的方程是,.,2.,已知一个圆过,P(4,2),Q(-1,3),两点,且在,y,轴上截得的线段,长为,求圆的方程,.,【,解题指南,】,1.,根据所给圆的方程求出圆心坐标,再代入设出的方程求解,.,2.,设出圆的一般方程,由圆过,P,Q,两点可得两个方程,再根据圆在,y,轴上截得的线段长可得到一个方程,通过解方程组可求出圆的方程,.,【,解析,】,1.,设所求圆的方程为,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0.,由已知该圆圆心为,(3,4),且过点,(-1,1),故,所以圆的方程为,x,2,+y,2,-6x-8y=0.,答案：,x,2,+y,2,-6x-8y=0,2.,设圆的方程为,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0.,令,x=0,得,y,2,+Ey+F=0.,由已知,|y,1,-y,2,|=4 ,其中,y,1,y,2,是方程,y,2,+Ey+F=0,的两根,所以,(y,1,-y,2,),2,=(y,1,+y,2,),2,-4y,1,y,2,=E,2,-4F=48.,将,P,Q,两点的坐标分别代入方程,得,解联立的方程组,得,故圆的方程为,x,2,+y,2,-2x-12=0,或,【,互动探究,】,若题,2,条件不变,试判断原点,(0,，,0),与圆的位置,关系,.,【,解析,】,(1),若圆的方程为,x,2,+y,2,-2x-12=0,因为,0,2,+0,2,-2,0-12=-12,0,所以原点,(0,，,0),在圆内,.,(2),若圆的方程为,因为,所以原点,(0,0),在圆外,.,【,技法点拨,】,1.,待定系数法求圆的方程的三个步骤,(1),根据题意,选择标准方程或一般方程,.,(2),根据条件列出关于,a,b,r,或,D,E,F,的方程组,.,(3),解出,a,b,r,或,D,E,F,代入标准方程或一般方程,.,2.,对圆的一般方程和标准方程的选择,(1),如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出,a,b,r.,(2),如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再利用待定系数法求出常数,D,E,F.,提醒：,当条件与圆的圆心和半径有关时,常设圆的标准方程,;,条件与点有关时,常设圆的一般方程,.,【,拓展类型,】,与圆有关的轨迹问题,试着解答下列题目,体会求轨迹方程的一般步骤及常用方法,.,1.(2013,惠州高二检测,),若,RtABC,的斜边的两端点,A,B,的坐标分别为,(-3,0),和,(7,0),则直角顶点,C,的轨迹方程为,(,),A.x,2,+y,2,=25(y0) B.x,2,+y,2,=25,C.(x-2),2,+y,2,=25(y0) D.(x-2),2,+y,2,=25,2.,已知,ABC,的边,AB,长为,4,若,BC,边上的中线为定长,3,求顶点,C,的轨迹方程,.,【,解题指南,】,1.,根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半求解,.,2.,建立适当的坐标系,易知,C,不能在,AB,上,设,BC,中点为点,D.C,B,D,三点为相关点,利用代入法,(,也称相关点法,),求解,.,【,解析,】,1.,选,C.,线段,AB,的中点为,(2,，,0),，因为,ABC,为直角三,角形，,C,为直角顶点，所以,C,到点,(2,，,0),的距离为,|AB|=5,所,以点,C(x,y),满足,=5(y0),即,(x-2),2,+y,2,=25(y0).,2.,以直线,AB,为,x,轴，,AB,的中垂线为,y,轴建立坐标系,(,如图,),，则,A(-2,0),B(2,0),设,C(x,y),BC,中点,D(x,0,y,0,).,所以,因为,|AD|=3,所以,(x,0,+2),2,+ =9,，,将代入,整理得,(x+6),2,+y,2,=36.,因为点,C,不能在,x,轴上，所以,y0.,综上，点,C,的轨迹是以,(-6,0),为圆心，,6,为半径的圆，,去掉,(-12, 0),和,(0,0),两点,.,轨迹方程为,(x+6),2,+y,2,=36(y0).,【,技法点拨,】,1.,用代入法求轨迹方程的一般步骤,2.,求轨迹方程的几种常用方法,(1),直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程,.,(2),定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义,(,如圆等,),可用定义直接求解,.,(3),相关点法：根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程,.,(4),参数法：若动点的坐标,(x,y),中的,x,y,分别随另一变量的变化而变化,我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程,.,【,变式训练,】,(2013,珠海高二检测,),两直线,ax+y=1,与,x-ay=1,的交点的轨迹方程是,_.,【,解题指南,】,分,x0,且,y0,和,x=0,且,y=0,求解,.,【,解析,】,当,x0,且,y0,时，两直线方程化为,所以 化为,x,2,+y,2,-x-y=0.,当,x=0,且,y=0,时满足上式，,故交点的轨迹方程为,x,2,+y,2,-x-y=0.,答案：,x,2,+y,2,-x-y=0,1.,圆,x,2,+y,2,-4x+6y=0,的圆心坐标是,(,),A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3),【,解析,】,选,D.,圆的方程化为标准方程为,(x-2),2,+(y+3),2,=13,故圆心坐标为,(2,-3).,2.,方程,x,2,+y,2,+2ax-2ay=0,表示的圆,(,),A.,关于,x,轴对称,B.,关于原点对称,C.,关于直线,x-y=0,对称,D.,关于直线,x+y=0,对称,【,解析,】,选,D.,圆的方程化为,(x+a),2,+(y-a),2,=2a,2,圆心,(-a,a).,由圆心坐标易知圆心在,x+y=0,上,所以圆关于直线,x+y=0,对称,.,3.,点,P(1,1),与圆,x,2,+y,2,-2x+2y=0,的位置关系是,(,),A.,在圆外,B.,在圆内,C.,在圆上,D.,不确定,【,解析,】,选,A.,因为,1,2,+1,2,-2,1+2,1=20,所以点,P,在圆外,.,4.,方程,x,2,+axy+y,2,+bx+ y+7=0,是圆的一般方程,则,a=_;,b,的取值范围是,.,【,解析,】,要使方程表示圆的一般方程，需,答案：,0 (-,-5)(5,+),5.,若圆,x,2,+y,2,-6x+6y+14=0,关于直线,l,：,ax+4y-6=0,对称,则直线,l,的斜率是,.,【,解析,】,圆,x,2,+y,2,-6x+6y+14=0,关于直线,l,：,ax+4y-6=0,对称,则,直线,l,通过圆心,(3,-3),故,3a-12-6=0,解得,a=6,故斜率,k=- .,答案：,-,6.,判断下列二元二次方程是否表示圆的方程,?,如果是,求出圆的圆心坐标及半径,.,(1)4x,2,+4y,2,-4x+12y+9=0.,(2)4x,2,+4y,2,-4x+12y+11=0.,【,解析,】,(1),方程,4x,2,+4y,2,-4x+12y+9=0,可化为,x,2,+y,2,-x+3y+ =0,又,1+3,2,-4,=1,0,可知此方程表示圆,.,圆心为 半径为,.,(2),方程,4x,2,+4y,2,-4x+12y+11=0,可化为,x,2,+y,2,-x+3y+ =0,又,1+3,2,-4,=-1,0,可知此方程不表示圆,.,
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