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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.3,（,1,）,基本不等式,（,2,）,基本不等式的最大值与最小值,对于任意实数,x,y,(,x,-,y,),2,0,总是成立的,即,x,2,-2,xy,+,y,2,0,所以,当且仅当,x,=,y,时等号成立,如果,a,b,都是正数，那么,当且仅当,a,=,b,时,等号成立,.,设,则由这个不等式可得出以下结论,:,一,.,基本不等式,注意：,1,这个定理适用的范围：,2,语言表述：两个正数的算术平均,数不小于它们的几何平均数。,上述不等式称为,基本不等式,其中 称为,a,b,的,算术平均数,称为,a,b,的,几何平均数,.,对基本不等式的几何解释,:,以,a,+,b,为直径作圆，在直径,AB,上取一点,C,，过,C,作弦,DE,AB,则,从而,而半径,当且仅当,C,与,O,重合,即,a,=,b,时等号成立,A,D,B,E,O,C,a,b,其中正确的推导为,(,),A,B,C,D,例,1,例,2,已知,x,、,y,都是正数，求证：,(1),(2),（,x,y,）（,x,2,y,2,）（,x,3,y,3,）,x,3,y,3,.,2,；,1,不等式,m,2,1,2,m,中等号成立的条件是,(,),A,m,1,B,m,1,C,m,1 D,m,0,2,已知,a,，,b,R,，且,a,b,2,，则,(,),A,ab,4 B,ab,4,C,ab,1 D,ab,1,练习,已知两个正数,x,，,y,，求,x+y,与积,xy,的最值,.,(1),xy,为定值,p,，那么当,x,y,时，,x+y,有最小值,_,；,(2),x+y,为定值,s,，那么当,x,y,时，,积,xy,有最大值,_,.,积定和小,和定积大,二,.,基本不等式的最大值与最小值,例,3.,下列函数中，最小值为,2,的有,那些,?,(1)(2),(3),(4),(5),(6),变式,.,已知 证明：,例,4.,设,x,y,为正实数，且,2x+5y=20,，求 的最大值,.,想一想,:,错在哪里？,例,5.,已知函数 ，求函数的最小值和此时,x,的取值,运用均值不等式的过程中，忽略了,“正数”,这个条件,1,已知函数，求函数的最小值,用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件,练习,用均值不等式求最值,必须注意,“,相等,”,的条件,.,如果取等的条件不成立,则不能取到该最值，那么用什么方法求最小值,正：,两项必须都是正数；,定：,求两项和的最小值，它们的积应为定值；,求两项积的最大值，它们的和应为定值。,等：,等号成立的条件必须存在,.,注意,:,在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“,一正、二定、三相等,、,四最值,”,.,当条件不完全具备时，应创造条件,.,例,4,：设,a,b,均为正数,证明不等式,:,注：,变换形式再证,对这一不等式的几何解释,:,以,a,+,b,为直径作圆，在直径,AB,上取一点,C,，过,C,作弦,DD,AB,过,C,作,CE,OD,于,E,则在,RtOCD,中,由射影定理可知,即,A,B,D,D,C,a,b,由,DCDE,得,当且仅当,C,与,O,重合,即,a,=,b,时,等号成立,O,E,例,5,：设,a,b,均为正数,证明不等式,:,对这一不等式的几何解释,:,课本,p89,思考交流,注：,1.,采用放缩法证明，证明思想很重要。,2.,在放缩时不能过度放缩，也不能放缩不足,2.,理解四个“平均数”的大小关系；,a,，,b,R,+,，,则,其中当且仅当,a,b,时取等号,.,三,.,基本不等式链,调和平均数,几何平均数,算术平均数,加权平均数或平方平均数,(1),已知,:x0,y0.,且,2x+5y=20,求,xy,的最大值,.,方法,1:,基本不等式法,方法,2:,减元构造函数,构造法,下面请大家来研究下列几个问题,:,(3),y=2x ,(0 x1),求,y,的最大值,(4),已知,a,、,b,是正数，且,a,2,+=1,，,求,a,的最大值,.,(2),已知,a,、,b,是实数，且,a+b=4,求,2,a,+2,b,的最小值,当且仅当,a=b=2,时,2,a,+2,b,取得最小值,8.,1,变形,:,函数 的最小值,是,(4),已知，则函数,的最大值是,练习,:,求函数 的最大值；,用代换法构造基本不等式,方法,1,方法,2,解题心得,:,根式的问题可以平方转化,.,注意一题多解,.,方法,1:,利用基本不等式,根式,:,利用平方转化,方法,2:,求二次函数定区间上的最值,应用均值不等式时要注意,“一正、二定、三相等”,综合法,分析法,问题：,是否,积或和为定值,时，就一定可以求最值？,下面运算是否正确,?,1.,证明,:,如果,那么,证明,:,练习,
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