第5章2.多项式插值的拉格朗日方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,多项式插值的拉格朗日方法,邹昌文,插值基函数的构造,思路：,分析（一）,l,i,(,x,),每个,l,i,有,n,个根,x,0,x,i,x,n,=,-,=,-,-,-,=,n,j,j,i,j,i,n,i,i,i,x,x,C,x,x,x,x,x,x,C,x,l,0,0,),(,),).(,).(,(,),(,-,=,=,j,i,j,i,i,i,i,x,x,C,x,l,),(,1,1,),(,Lagrange Polynomial,与 有关，而与 无关,节点,f,分析（二）,简略记号,拉格朗日插值多项式余项,/,Remainder,/,估计,t,的,n+1,次多项式,注：,通常不能确定,x,而是估计,x,(,a,b,),将 作为误差估计上限。,当,f,(,x,),为任一个次数,n,的,多项式,时，,可知 ，即插值多项式对于次数,n,的,多项式是,精确,的。,Quiz:,给定,x,i,=i,+1,i,=0,1,2,3,4,5.,下面哪个是,l,2,(,x,),的图像？,y,0,-,-,-,1,0.5,-,0.5,1,2,3,4,5,6,x,y,0,-,-,-,1,0.5,-,0.5,1,2,3,4,5,6,x,y,0,-,-,-,1,0.5,-,0.5,1,2,3,4,5,6,x,A,B,C,例,1.,求过点,(0,1),、,(1,2),、,(2,3),的三点插值多项式,解,:,由,Lagrange,插值公式,（给定的三个点在一条直线上）,1 Lagrange Polynomial,例,2.,已知,分别利用,sin,x,的,1,次、,2,次,Lagrange,插值计算,sin 50,并估计误差。,解：,n,=1,分别利用,x,0,x,1,以及,x,1,x,2,计算,利用,这里,而,sin 50,=0.7660444,),18,5,(,50,sin,1,0,p,L,0.77614,外,推,/extrapolation/,的实际误差,0.01001,利用,sin 50,0.76008,内插,/interpolation/,的实际误差,0.00596,内插通常优于外推。选择要计算的,x,所在的区间的端点，插值效果较好。,1 Lagrange Polynomial,n,=2,),18,5,(,50,sin,2,0,p,L,0.76543,sin 50,=0.7660444,2,次,插值的实际误差,0.00061,高次插值通常优于低次插值,但,绝对不是次数越高就越好，嘿嘿,p.45,Rolles,Theorem:,若 充分光滑，则,存在 使得 。,推广：,若,使得,使得,存在,使得,R,n,(,x,),至少有 个根,n,+1,=,-,=,n,i,i,n,x,x,x,K,x,R,0,),(,),(,),(,任意固定,x,x,i,(,i,=0,n,),考察,=,-,=,n,i,i,x,t,x,K,t,R,n,t,0,),(,),(,),(,),(,j,(,x,),有,n,+2,个不同的根,x,0,x,n,x,!,),1,(,),(,),(,),1,(,+,-,+,n,x,K,R,x,n,n,x,注意这里是对,t,求导,=,+,-,-,+,+,!,),1,)(,(,),(,),(,),1,(,),1,(,n,x,K,L,f,x,n,n,x,n,x,x,!,),1,(,),(,),(,),1,(,+,=,+,n,f,x,K,x,n,x,