3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程(1)

,*,*,B,普通高中课程标准,Liangxiangzhongxue,3.2.1,直线的方向向量与直线的向量方程,一、复习引入,立体几何的基本要素是空间内的点、线、面、体，我们利用空间向量来研究立体几何，关键是先要学会利用向量来表示空间内的点与直线。进而利用空间向量研究空间的点、线、面的位置关系。,B,在平面向量的学习中，我们得知,M,、,A,、,B,三点共线,A,、,B,是直线,l,上任意两点。,O,是,l,外一点,.,动点,P,在,l,的充要条件是,上述式子称作直线,l,的向量参数方程式，实,数,t,叫参数。,复习旧知,已知向量,a,，在空间固定一个基点，再作向量 ，则点,A,在空间的位置就被向量,a,所惟一确定了，这时，我们称这个向量为,位置向量,。,位置向量定义：,给定一个定点,A,和一个向量,a,，如图所示，再任给一个实数,t,以,A,为起点作向量,这时点,P,的位置被完全确定，容易看到，当,t,在实数集,R,中取遍所有值时，点,P,的轨迹是一条通过点,A,且平行于向量,a,的一条直线,l.,反之，在直线,l,上任取一点,P,，一定存在一个实数,t,，使,向量方程,通常称作,直线,l,的参数方程,.,向量,a,称为该,直线的方向向,量,.,a,l,A,P,直线的方向向量与直线的向量方程,注,:,向量方程两要素,:,定点,A,方向向量,t,为参数,且,t,是实数,问,:t=0,时,?,直线的向量方程,还可作如下的表示,:,对空间任一个确定的点,O(,如图所示,),点,P,在直线,l,上的充要条件是存在惟一的实数,t,满足等式,如果在,l,上取 则式可化为,即 ,或或都叫做,空间直线的向量参数方程,.,A,a,O,M,B,P,l,ta,注,:,当,t=,时,.,此时,P,是线段,AB,的中,点,这就是线段,AB,中点的向量表达式,.,中 有共同的起点,.,中 的系数之和为,1.,例,1,已知点,A(2,4,0),B(1,3,3),以 的方向为正方向,在直线,AB,上建立一条数轴,P,Q,为轴上的两点,且分别满足条件,:,AP:PB=1:2 AQ:QB=-2,求点,P,和点,Q,的坐标,.,A,Q,B,P,y,z,x,l,O,例,1,例,2,已知空间中四点,M,A,B,C,满足,x,y,是实数,且,x+y=1.,求证,:A,B,C,三点共线,证明,:,课堂练习,例,3,A.,相交,B.,平行,C.,垂直,D.,不能确定,课堂练习,(1),两直线的方向向量分别为,V,1,=(2,0,3),V,2,=(-3,0,2),则两直线的位置关系是什么？,(2),已知点,A,（,-2,，,3,，,0,），,B,（,1,，,3,，,2,），以 的,方向为正向，在直线,AB,上建立一条数轴，,P,Q,为轴上,两点，且满足条件：,AQ:QB=-1;,AP:PB=2:3,求点,P,和点,Q,的坐标,.,小结,直线的向量参数方程,a,O,M,B,P,l,ta,小结,