第二章 第1讲 函数与映射的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二章 函数,第,1,讲,函数与映射的概念,考纲要求,考纲研读,1.,了解构成函数的要素,2,会求一些简单函数的定,义域和值域,3,了解映射的概念,.,函数是特殊的映射，对函数的考查主要,为：概念,(,判断是否为函数或判断两个,函数是否相同,),、定义域,(,具体函数或抽,象函数,),构成映射的个数,.,1,函数的概念,(1),函数的定义,设,A,、,B,是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系,f,，,使对于集合,A,中的,_,，在集合,B,中都有,_,的数和它对应，那么这样的对应叫做从,A,到,B,的一个函数，通常,记为,_.,每一个数,x,唯一确定,y,f,(,x,),，,x,A,(2),函数的定义域、值域,的集合,f,(,x,)|,x,A,在函数,y,f,(,x,),，,x,A,中，,x,叫做自变量，,x,的取值范围,A,叫,做,y,f,(,x,),的,_,；与,x,的值相对应的,y,值叫做函数值，,_,_,称为函数,y,f,(,x,),的值域,(3),函数的三个要素，即,_,、,_,和,_.,2,映射的概念,定义域,值域,对应关系,f,设,A,、,B,是两个非空集合，如果按照某种对应关系,f,，对于集,合,A,中的,_,元素，在集合,B,中都有,_,的元素与之对,应，那么这样的对应叫做从,A,到,B,的映射，通常记为,_.,任意,唯一确定,f,：,A,B,定义域,函数值,A,x,|,x,3,C,x,|,x,3,B,x,|,x,3,D,x,|,x,3,2,下列函数中与函数,y,x,相同的是,(,A,),B,4,函数,y,lg,(,4,x,),x,3,的定义域是,_.,5,设,M,x,|0,x,2,，,N,y,|0,y,3,，给出如图,2,1,1,所示四个图象，其中能表示从集合,M,到集合,N,的函数关系的是,_(,填序号,),x,|,x,4,且,x,3,图,2,1,1,考点,1,映射与函数的概念,例,1,：,(2011,年湖南,),给定,k,N,*,，设函数,f,N,*,N,*,满足：对于任意大于,k,的正整数,n,，,f,(,n,),n,k,.,(1),设,k,1,，则其中一个函数,f,在,n,1,处的函数值为,_,；,(2),设,k,4,，且当,n,4,时，,2,f,(,n,),3,，则不同的函数,f,的个数为,_.,解析：,(1),由法则,f,是正整数到正整数的映射，因为,k,1,，所以从,2,开始都是一一对应的，而,1,可以和任何一个正整数对应，故,f,在,n,1,处的函数值为任意的,a,(,a,为正整数,),(2),因为,2,f,(,n,),3,，所以根据映射的概念可得到：,1,2,3,4,只能是和,2,或者,3,对应，,1,可以和,2,对应，也可以和,3,对应，有,2,种对应方法，同理，,2,3,4,都有两种对应方法，由乘法原理，得不同函数,f,的个数等于,16.,答案,：,(1),a,(,a,为正整数,)(2)16,理解映射的概念，应注意以下几点：,集合,A,、,B,及对应法则,f,是确定的，是一个整体系统；,对应法则有,“,方向性,”,，即强调从集合,A,到集合,B,的对应，它与从集合,B,到集合,A,的对应关系一般是不同的；,集合,A,中每一个元素，在集合,B,中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；,集合,A,中不同元素，在集合,B,中对应的象可以是同一个；,不要求集合,B,中的每一个元素在集合,A,中都有原象,【,互动探究,】,解析：,y,x,2,2,x,3,(,x,1),2,4,4,，,k,B,且,k,在,A,中没有,没有元素与之对应，则,k,的取值范围为,k,4.,A,1,已知,f,A,B,是集合,A,到集合,B,的映射，又,A,B,R,，对应法则,f,y,x,2,2,x,3,，,k,B,且,k,在,A,中没有元素与之对应，则,k,的取值范围为,(,),A,k,4,B,1,k,3,C,k,4,D,k,3,考点,2,判断两函数是否为同一个函数,例,2,：,试判断,以下各组函数是否表示同一函数？,解题思路：,要判断两个函数是否为同个函数，只需判断其定,义域和对应关系是否相同即可,【,互动探究,】,B,考点,3,求函数的定义域,A,求一些具体函数的定义域，有分母的保证分母不为,零；有开偶次方根的要保证被开方数为非负数；有对数函数保证,真数大于零，底数大于零且不等于,1.,在求定义域的过程中，往往,需要解不等式,(,组,),，很多时候需要利用函数的单调性,A,3,函数,f,(,x,),的定义域是,(,),A,(,，,0,C,(,，,0),B,0,，,),D,(,，,),【,互动探究,】,lg(1,x,),的定义域是,(,1,1,x,),4,(2011,年广,东,),函数,f,(,x,),A,(,，,1),B,(1,，,),C,(,1,1)(1,，,),D,(,，,),C,解析：,1,x,0,，,1,x,0,x,1,且,x,1,，则,f,(,x,),的定义域是,(,1,1),(1,，,),易错、易混、易漏,4,对,复合函数的定义域理解不透彻,例题：,(1),若函数,f,(,x,),的定义域为,2,3,，则,f,(,x,1),的定义域为,_,；,(2),若 函 数,f,(,x,1),的 定义域为,2,3,，则,f,(,x,),的定义域为,_,；,(3),若函数,f,(,x,1),的定义域为,2,3,，则,f,(,x,),的 定 义 域 为,_,，,f,(2,x,1),的定义域为,_,；,(4),若函数,f,(,x,),的值域为,2,3,，则,f,(,x,1),的值域为,_,；,f,(,x,),1,的值域为,_,(4),f,(,x,1),的图象就是将,f,(,x,),的图象向右平移,1,个单位，不改变,值域,f,(,x,),1,的图象就是将,f,(,x,),的图象向下平移,1,个单位，所以,f,(,x,1),的值域为,2,3,，,f,(,x,),1,的值域为,1,2,【,失误与防范,】,本题是求关于抽象的复合函数的定义域和值,域，加深对函数定义域的理解，弄明白,f,(,x,),与,f,u,(,x,),定义域之间的,区别与联系，其实在这里只要,f,(,x,),中,x,取值的范围与,f,u,(,x,),中式子,u,(,x,),的取值范围一致就,行了,.,注意习题,(,3,),就是习题,(,1,),和习题,(,2,),的,综合,.,函数的概念含有三个要素，当函数的定义域及对应关系确定,之后，函数的值域也就随之确定因此，“定义域和对应关系”,为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应关系,分别相同时，这两个函数才是同一个函数,对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解三种情形：已,知,f,(,x,),的定义域为,a,，,b,，求,f,u,(,x,),的定义域，只需求不等 式,a,u,(,x,),b,的解集即可；已知,f,u,(,x,),的定义域为,a,，,b,，求,f,(,x,),的定义域，只需求,u,(,x,),的值域；已知,f,u,(,x,),的定义域为,a,，,b,，,求,f,g,(,x,),的定义域，必须先利用的方法求,f,(,x,),的定义域然后利用,的方法求解,