12.8一般周期

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第八节,一般周期的函数的傅里叶级数,一、周期为,2,l,的周期函数的,傅里叶级数,二、傅里叶级数的复数形式,第十二章,一、周期为,2,l,的周期函数的傅里叶级数,周期为,2,l,的函数,f,(,x,),周期为,2,的函数,F,(,z,),变量代换,将,F,(,z,),作傅氏展开,f,(,x,),的傅氏展开式,狄利克雷,(,Dirichlet,),条件,:,1),在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,2),在一个周期内只有有限个极值点,设周期为,2,l,的周期函数,f,(,x,),满足收敛定理条件,则它的傅,里,叶级数展开式为,(,在,f,(,x,),的连续点处,),其中,定理,.,证明,:,令,则,令,则,所以,且它满足收敛定,理,条件,将它展成傅,里,叶级数,:,(,在,F,(,z,),的连续点处),变成,是以,2,为周期的周期函数,其中,令,(,在,f,(,x,),的 连续点处,),证毕,说明,:,其中,(,在,f,(,x,),的连续点处,),如果,f,(,x,),为,偶函数,则有,(,在,f,(,x,),的连续点处,),其中,注,:,无论哪种情况,在,f,(,x,),的间断点,x,处,傅,里,叶级数,都收敛于,如果,f,(,x,),为,奇函数,则有,解,例,2.,把,展开成,(1),正弦级数,;(2),余弦级数,.,解,:,(1),将,f,(,x,),作,奇,周期延拓,则有,在,x,=2,k,处级数收敛于何值,?,(2),将,作,偶,周期延拓,则有,说明,:,此式对,也成立,由此还可导出,据此有,当函数定义在,任意有限区间,上时,方法,1,令,即,在,上展成傅里叶级数,周期延拓,将,在,代入展开式,上的傅里叶级数,其展开方法为,:,方法,2,令,在,上展成,正弦,或,余弦,级数,奇,或,偶,式周期延拓,将 代入展开式,在,即,上的,正弦,或,余弦,级数,例,3.,将函数,展成傅,里,叶级数,.,解,:,令,设,将,F,(,z,),延拓成周期为 10 的周期函数,理,条件,.,由于,F,(,z,),是奇函数,故,则它满足收敛定,为正弦 级数,.,内容小结,1.,周期为,2,l,的函数的傅里叶级数展开公式,(,x,间断点,),其中,当,f,(,x,),为奇 函数时,(,偶,),(,余弦,),2.,在任意有限区间上函数的傅里叶展开法,变换,延拓,3.,傅里叶级数的复数形式,利用欧拉公式导出,思考与练习,1.,将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形,?,答,:,易看出奇偶性及间断点,2.,计算傅里叶系数时哪些系数要单独算,?,答,:,用系数公式计算,如分母中出现因子,n,k,作业,:,P319 1,(1),(3);,2,(2);,*,3,从而便于计算系数和写出,收敛域,.,必须单独计算,.,习题课,备用题,期的傅立叶级数,并由此求级数,(1991,考研,),解,:,为,偶函数,因,f,(,x,),偶延拓后在,展开成以,2,为周,的和,.,故,得,得,故,