折叠问题中相似三角形的识别

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,折叠问题中相似三角形的识别,初三数学,主讲教师:张华云,相似三角形的识别法,识别法一：两角对应相等，两三角形相似,识别法二：两边对应成比例，且夹角相等，,两三角形相似,识别法三：三边对应成比例，两三角形相似,特别地：,一对锐角,对应相等，,两直角三角形,相似,识别法如下：,应用的较多！,从几何变换的角度看三角形中的相似三角形,：,A,D,E,C,B,A,D,E,C,B,A,E,C(D),B,A,E,D,C,B,A,E,D,C,B,例1.任给一张矩形（非正方形）的纸片,ABCD,，,把它的顶点,B,沿,AF,对折，使点,B,恰好落在,CD,边上的,E,处.,C,B,A,D,E,F,观察矩形,ABCD,被分成了几个互不重合的三角形？它们分别是什么三角形,？,从图上易知,矩形,ABCD,被分成了,4,个互不重 合的三角形，它们都是直角三角形,EAF,BAF,（,且全等）,DAE,CFE,例1.任给一张矩形（非正方形）的纸片,ABCD,，,把它的顶点,B,沿,AF,对折，使点,B,恰好落在,CD,边上的,E,处,C,B,A,D,E,F,(2)请找出图中的相似三角形；,Rt,DAE,和,Rt,EAF,中，,DEA,+,DAE,=90,DEA,+,CEF,=90,所以,DAE=,CEF,，,从而,DAE,CFE,不一定,例1任给一张矩形（非正方形）的纸片,ABCD,，,把它的顶点,B,沿,AF,对折，使点,B,恰好落在,CD,边,上的,E,处,C,B,A,D,E,F,(3)想一想：这4个三角形是两两相似的吗？,EAF,BAF,（,且全等）,；,DAE,CFE,DAE,相似于,EAF,？,由(2)知：,例1.任给一张矩形（非正方形）的纸片,ABCD,，,把它的顶点,B,沿,AF,对折，使点,B,恰好落在,CD,边上的,E,处,C,B,A,D,E,F,做一做：你能分析出要使这 4 个三角形两两相似，,对于4个直角三角形中的锐角有何要求吗？,C,B,A,D,E,F,若,DAE,EAF,若,DEA,EAF,？,？,因为,DEA,=,EAB,所以不可能！,需要,DAE,=,EAF,又,EAF,=,FAB,DAE,+,EAF,+,FAB,=90,所以,DAE,=,EAF,=,FAB,=30,所以,要使这 4 个三角形,两两相似，则 4 个直角三角形中均有一个锐角为,30,，,另,一个锐角为,60,需要,DEA,=,EAF,又,EAB,=2,EAF,例1.任给一张矩形（非正方形）的纸片,ABCD,，,把它的 顶点,B,沿,AF,对折，使点,B,恰好落在,CD,边上的,E,处,(5)做一做：由(4)知，存在这样的矩形（如图）按题,中的方法对折后，形成的4个三角形是两两相似的，,需要的条件是,DAE,=,EAF,=,FAB,=30,现在请大,家动手，把顶点,D,沿,AE,对折，把顶点,C,沿,EF,对折，,看一看，,D、C,落在了何处？,D,A,B,F,C,E,边,AF,上,E,为,CD,的,中点,E,点在,CD,上的位置有何特点？,为什么？,(6)试一试：给你若干张长方形的纸片、一副三角板、剪刀和胶水，你能否剪拼出一个矩形，按题中的方法对折后，形成的4个三角形是两两相似的？,E,(,B,),D,(,C,),由(5)知，把下图满足条件的矩形,ABCD,的顶点,B,沿,AF,对折，使点,B,恰好落在,CD,边上的,E,处后，再把顶点,D,沿,AE,对折，把顶点,C,沿,EF,对折，,D、C,均落在了边,AF,上，,且这两点重合，如右下图所示,D,A,B,F,C,E,先用,30,的,三角板作出,Rt,AEF,和,斜边,AF,上的高,ED,，,再,分别剪出三个分别和,AED,、,EFD,、,AEF,全等的三角形，,然后,用胶水拼一下即可,这就给了我们一个启示！,F,A,练一练,(7)练一练：你能分析出如果一个矩形按题中的方法对折后，形成的4个三角形是两两相似的话，那么这个矩形的长和宽的比是多少呢？,注,：请学过尺规作图的同学，思考一下如何用尺规,作图的方法画出一个这样的矩形,所以,AB,:,BC=,:(,x,+2,x,),=,:3,D,A,B,F,C,E,x,2,x,4,x,2,x,Rt,CEF,中，,CEF,=30,，,设,CF,=,x,，,则,EF,=,2,x,，,CE=,Rt,EAF,中，,EAF,=30,，,则,AF,=,4,x,，,AB=,练习.如图所示，以,DE,为轴,，,折叠等边,ABC,，,顶点,A,恰好落在,BC,边上的,F,处,A,B,C,F,E,D,3,1,2,(1)观察,ABC,被分成了几个互不重合的三角形？,易知,ABC,被分成了,4,个互不重合的三角形,(2)请找出图中的相似三角形；,ADE,FDE,（,且全等）,BDF,CFE,又,DEF,由,折叠得到，,所以,DFE,=,A,=60,，,1,+,2=120,1,+,3=120,所以,2,=,3,所以,BDF,CFE,因为等边,ABC,，,所以,B,=,C,=60,练习,练习.如图所示，以,DE,为轴,，,折叠等边,ABC,，,顶点,A,恰好落在,BC,边上的,F,处,A,B,C,F,E,D,3,1,2,A,B,C,F,E,D,3,1,2,(3)做一做：如果这4个三角形是两两相似的，那么对轴,DE,有何,要求？,由(2)知：,ADE,FDE,（,且全等）,BDF,CFE,不一定,BDF,相似于,FDE,？,若,BDF,FDE,？,需要,BDF,=,FDE,又,ADE,=,FDE,ADE,+,FDE,+,BDF,=180,所以,ADE,=,FDE,=,FDB,=60,已知,B,=,DFE=,60,若,BDF,FED,？,需要,BDF,=,FED,从而需要,DE,平行于,BC,且,DE,为,等边,ABC,的,中位线,又,BDF,=,CFE,，,类似可得上述对,DE,的要求,思考题1：如图所示，,AB,是等腰直角,ABC,的斜边，若点,M,在,AC,边上，点,N,在,BC,边上，设,MCN,沿直线,线,MN,翻折，点,C,落在边,AB,上，其落点为,P,说明,：,C,A,B,思考题2：矩形,ABCD,的,边长,AB=,3,BC=,4，,将矩形折叠使,C,点和,A,点,重合，求折痕,EF,的,长,B,A,D,C,E,F,