04动能和势能

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四章 动能和势能,4.1,能量概念的历史发展过程,有一个事实，或如果你愿意，一条定律，,支配着至今所知的一切自然现象。关于这,条定律没发现例外,就目前所知确乎如,此。这条定律称作能量守恒。它指出有某,一个量，我们称它为能量，在自然界经历,的多种多样的变化中它不变化。,费曼（,RPFeynman,）,1,4.2,力的元功、用线积分表示功,F,R,是质点位矢的微分也叫质点的元位移，力在元位移上所做的功 叫元功，把各个元位移上的元功加起来，就是力在整段路径上所做的功,.,功的定义问题分析,当,t0,时，,定义式,A=,FScos,是有条件的：恒力，直线运动例如：一质点在大小不变的切向力,F,作用下，沿半径为,R,的圆形轨道运动一周，力,F,做的功并不是零,一般情况下，力是变力，且质点做曲线运动，可把运动路径分成许多非常小的小段，以至于在每小段上，曲线可用直线代替，作用在每小段上的力也可认为是不变的。,F,o,2,力的元功及功率,功率：平均功率,元功在不同坐标系中的表达式,平面直角坐标系,平面自然坐标系,极坐标系,瞬时功率,元功：,力的元功等于力与质点元位移的点乘积,3,力在有限路径上的功,在直角坐标系中：,若质点做直线运动，则,直线运动、恒力：,在自然坐标系中：,如切向力沿圆轨道运动一周做的功,在极坐标系中：,1,2,F,s,o,定义：,F,R,S,o,4,几点注意,F,F,A,B,F,f,B,分析功，必须明确是那个力对那个物体做功。,合力所做的功等于各分力做功的代数和,功是过程量，同时是可正可负的标量；功的正负,取决于力与位移之间的夹角，而位移又是与参考,系有关的，因而功是相对量。,A,B,F,f,B,5,例,1,：弹簧弹力 ，求质点由,x,0,运动到,x,1,的过程中弹力所做的功,解：,解：沿雪橇轨迹取自然坐标,o-s,，,摩擦力的大小,=N,，,方向总是沿轨迹切线与雪橇运动方向相反，所以,o,x,0,x,1,x,o,a,b,s,f,例,2,：,马拉雪橇水平前进，自起,点,a,沿长为,L,的曲线路径到达终点,b,，,雪橇与雪地间的正压力为,N,摩擦系,数为,，,求摩擦力所做的功,6,4.3,质点和质点系动能定理,质点动能定理,分析与推导,：,质点,m,在合力 作用下的动力学方程：,结论：,质点的动能：,质点动能定理的微分形式：,作用于质点的合力的元功等于质点动能的微分,质点动能定理的积分形式：,作用于质点的合力所做的功，等于质点动能的增量,7,质点系内力的功,分别表示质点,m,1,m,2,位矢，表示,m,2,相对,m,1,的位矢，分别表示作用,在,m,1,m,2,上的一对作用力与反作用力，,两个重要结论：,质点系内力做功之和不一定为零。,一对作用力与反作用力做功之和与参考系无关，,仅取决于两质点间相对位置的改变。,o,m,1,m,2,f,f,讨论：质点系内力做功之和是否恒为零？,8,质点系动能定理,分析：,考虑由,n,个质点组成的质点系的某一运动过程，,对其中第,i,个质点应用质点动能定理，,令,i=1,2,3n,，得,n,个方程，全部相加得：,结论：,质点系在运动过程中，所有外力、内力做功之和等于质点系动能增量,应用动能定理解题步骤,9,例题：,卡车经过刹车过程由原来的速度,v,变为静止，求在此过程中木箱相对卡车滑动的距离,l,和卡车相对地面滑动的距离,L,。,已知木箱、卡车的质量分别为,m,、,M,木箱与车板、卡车与地面间的摩擦系数分别为,1,2,.,解：用质点动能定理求解,以地为参考系,对,m,应用质点动能定理：,对卡车,M,应用质点动能定理：,由,求得：,代入,中得：,m,L,f,2,f,1,l,f,1,v,10,用质点系动能定理求解：以地为参考系，把卡车、木箱视,为质点系，应用质点系动能定理：,m,L,f,2,f,1,l,f,1,v,再以木箱,m,为质点，应用质点动能定理：,、,联立求解，同样可得到上面的结果,其中，,-,1,mgl,是木箱和卡车间的互为反作用的一对滑动,摩擦力做功之和。,显然，互为反作用的一对滑动摩擦力做功之和永远为负,11,4.4,保守力与非保守力、势能,场力与力场,场力定义：仅由空间位置决定的力叫场力，场力是空间,位置的函数，存在场力的空间叫力场,两种特殊的力场,均匀力场：无论质点放在场中何处，质点所受场力均相同,如：平行板电容器中的电场，重力场，惯性力场,有心力场：无论质点放在力场中何处，质点所受场力方向,均通过一点，此力叫有心力，该点称为力心，如静电场，,引力场，弹力场,o,弹力场,静电场,Q,q,o,引力场,M,m,o,12,保守力与非保守力,均匀力场中的场力是保守力,中心对称有心力场中的场力是保守力,r,F,证明：,证明：设,定义：保守力所做的功仅由受力质点的始末位置决定，,而与质点运动的具体路径无关；非保守力所做的功不,仅与受力质点的始末位置有关，而且与质点运动的具,体路径有关。,保守力沿闭合路径所做的功恒等于零，,13,势能（位能）,几点注意与说明,在什么情况下有势能？有保守力，才有与该保守力对应的势能，有多少种保守力就有多少种势能,势能属于谁？属于由保守力 相联系的质点系,势能零点的选择是任意的，但两点间的势能增量是不变的，势能问题的本质在于势能增量,定义：势能增量等于保守力所做功的负值,负号表明：保守力做正功,势能减少；保守力做负功,势能增加,若规定,E,p,(a,)=0,，则,既然保守力的功仅由空间的始末位置决定，因而可定义一个空,间位置函数，通过这个位置函数的变化即可求出保守力所做的,功，这个位置函数就是势能。,14,几种常见势能的表达式,重力势能,:,0,E,p,(0)=0,mg,y,E,p,(y,)=?,静电势能：,Q,q,E,p,(r,)=?,E,p,()=0,弹性势能：,E,p,(r,o,)=0,E,p,(r,)=?,o,15,4.5,质点系机械能定理及守恒定律,质点系机械能定理（功能原理）,质点系机械能守恒定律,若外力、非保守内力不做功，则质点系的机械能守恒。,或者说，如果只有保守内力做功，则质点系机械能守恒。,推导：动能定理,结论：作用于质点系的外力与非保守内力做功之和等于,质点系机械能的增量，即,势能定义，,代入整理：,16,例,1,：如图所示，一轻弹簧两端分别连接,m,1,m,2,两个物体，问：至少要用多大的力压,下,m,1,，,松手后，弹簧才能把下面物体带离地面？,m,1,m,2,m,1,m,2,m,1,m,2,o,y,2,y,1,y,3,F,y,m,1,在,y,2,点的平衡方程：,-ky,2,-m,1,g-F=0,，即,ky,2,=-m,1,g-F ,m,2,被提起的条件是：,ky,3,=m,2,g ,松手后的过程中，只有保守内力做功，质点系机械能守恒：,将,代入,：,解：原点,o,为弹簧无任何压缩时,m,1,的位置,并规定为势能零点；只在,m,1,重力作用下,的平衡位置为,y,1,;,压,力,F,作用下,m,1,的平衡位置为,y,2,;y,3,为,松手后,m,1,能达到的最大高度,17,4.6,对心碰撞,F,1,F,2,m,1,m,2,v,1,v,2,m,1,m,2,v,10,v,20,x,碰前：,，两球接近速度 ，即球,1,对球,2,的速度,碰后：,，两球分离速度 ，即球,2,对球,1,的速度,对心碰撞又称正碰或一维碰撞，特点：碰撞前后速度方向都在一条直线上,压缩阶段：,形变逐渐增大，相互作用力使,m,1,速度减小，,m,2,速度增大，直,到两球速度相等，形变达最大，压缩 结束。如果是完全非弹性碰撞，则,形变不能恢复，两球以相同速度运动,恢复阶段：,若两球具有一定的弹性，则必有恢复阶段。形变逐渐减小，,相互作用力使,m,1,速度继续减小，使,m,2,速度继续增大,直到形变不再恢复，,相互作用力为零，恢复阶段结束,碰撞分为三种情况：完全弹性碰撞，完全非弹性碰撞，非完全弹性碰撞,碰撞过程的一般分析：,18,完全弹性碰撞,分析与推导：,碰撞前后质点系的动量和动能均不发生变化,几种特殊情况：,完全弹性碰撞基本公式：,碰后分离速度等于碰前接近速度,19,完全非弹性碰撞,例,1,用冲击摆测子弹速率：如图所示,子弹水平射入木块并嵌入其中，测得木块摆过的最大角度为,，,求子弹射入木块前的速率,完全非弹性碰撞特点：,机械能不守恒，动量守恒，碰后速度相同,完全非弹性碰撞的基本公式,:,M,m,v,L,解：设子弹与木块碰后共同速度为,v,由动量守恒：,在共同摆动的过程中，机械能守恒：,解方程组，得：,20,非完全弹性碰撞,非完全弹性碰撞特点是：机械能不守恒，动量守恒，但碰后两球速度不相等,实验表明：对于材料一定的两个球，碰后分离速度与碰前接近速度的比值是一个正的常数。此常数叫恢复系数，用,e,表示，,e,是由材料本身的弹性决定的，大小可通过实验测定，,0e1,非完全弹性碰撞的基本方程或公式是：,这两个方程也是解决所有对心碰撞问题的基本方程。,对于完全弹性碰撞,e=1,，,对于完全非弹性碰撞,e=0.,21,例,2,：查得威克研究微观粒子碰撞，发现中子,微观粒子碰撞可视为完全弹性碰撞，与宏观碰撞的区别：微观粒子碰撞是非接触碰撞，相互作用力是电场力而不是弹性力，但碰撞规律完全相同。,镤,铍箔,石蜡,粒子,v,1,v,2,m,v,0,m,p,质子,m,N,氮核,v,p,v,N,轻元素,检测器,v,p,=3.310,9,cm/s,v,N,=4.710,8,cm/s,由,求得,由,求得,两式相除，并考虑到,将 的实验值代入，求得,考虑误差，查认为这种粒子的质量,22,4.7,非对心碰撞,非对心碰撞又称为斜碰，指碰前速度方向至少有一个不在球心连线上，可分为两种情况：,二维碰撞，速度在同一平面内,三维碰撞，速度不在同一平面内,解决一维碰撞的所有概念、方法均可用来解决斜碰问题，只需注意：,标量式动量方程有,2,个（二维）或,3,个（三维）,恢复系数,e,要由球心连线上的分速度定义,23,例题,运动球与静止球的二维斜碰：如图所示,m,1,球以速度,v,0,与静止的,m,2,球发生斜碰，已知两球光滑，恢复系数为,e,，,求两球碰后速度,解：设碰后球,1,、球,2,速度为 ，两球光滑，,相互作用力必然在球心连线上。由此断定：,的方向沿,y,轴；球,1,速度,y,分量发生变化,但,x,分,量不变化，即,由,求得：,v,0,m,1,m,2,x,y,v,2,在,y,方向应用牛顿碰撞公式：,在,y,方向应用动量守恒：,24,讨论两种特殊情况：,v,0,cos,v,0,cos,v,0,sin,e,v,0,sin,v,0,v,1,y,x,若,m,2,m,1,，,相当于球与光滑平面斜碰，发生非等角反射，若,e=1,则为等角反射,x,v,0,cos,v,0,sin,v,0,v,1,=,v,0,cos,y,v,2,=,v,0,sin,若,m,1,=m,2,且,e=1,即 球,1,把碰前速度的,y,分,量给了球,2,自己留下了,x,分量,25,4.8,质心参考系的运用、克尼希定理,质心参考系的特点,x,y,z,o,x,y,z,C,克尼希定理,结论：质点系相对基本参考系的动能（绝对动能）等于质,点系相对质心参考系的动能（相对动能）加上质心动能,根据质点系质心在基本参考系中的定义：,把这个定义应用到质心参考系中，有：,26,克尼希定理在二体问题中的应用,两个质点组成的质点系的绝对动能：,设,m,1,相对,m,2,的速度为 ，根据相对运动速度公式：,由,求得：,在碰撞过程中 不变，质心动能也不变，因而非弹性碰撞,中损失的动能是由相对动能 支付的,27,高能物理研究中，为什么采用对撞方式？,由前面分析可知：在碰撞过程中，质心动能是不发生变化的，起变化的是两质点的相对动能。换句话说，对新发现有贡献的是相对动能，它才是碰撞的有效能量。因而，应尽量增大相对动能，采用对撞就是为了增大相对动能。,设碰撞粒子的质量为,m,