概率论与数理统计——概率习题课三

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论,概率统计,习题课 三,一、填空题,设,则,解,因为,所以,又因为,故,已知 的分布律为,且 与 独立,则,解,因为 与 独立,所以,即,联立,得到,二、选择题,已知 相互独立,且分布律为,那么下列结论正确的是_.,以上都不正确,解,因为 相互独立,所以,故,设离散型随机变量 的联合分布律为,且 相互独立,则_.,解,所以,即,因为 相互独立,又因为,故,解得,或者,设,那么,的联合分布为_.,二维正态分布,且,二维正态分布,且 不定,未必是二维正态分布,以上都不对,当 相互独立时,则 的联,合分布为 .,三、解答题,1.把一枚均匀硬币抛掷三次,设,X,为三次抛掷中正面出现的次数,而,Y,为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(,X,Y)的分布律与边缘分布.,(,X,Y,)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),P,X,=0,Y,=3,P,X,=1,Y,=1,P,X,=2,Y,=1,P,X,=3,Y,=0,=3/8,=3/8,解,PX=0=,P,X,=1=,P,X,=2=,P,X,=3=,P,Y,=1=,P,Y,=3=,=1/8,P,X,=0,Y,=1+,P,X,=0,Y,=3,=3/8,P,X,=1,Y,=1+,P,X,=1,Y,=3,=3/8,P,X,=2,Y,=1+,P,X,=2,Y,=3,P,X,=3,Y,=1+,P,X,=3,Y,=3,=1/8.,=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.,(,X,Y)关于 X 的边缘分布,(,X,Y)关于 Y 的边缘分布,设二维连续型随机变量 的联合分布函数为,求 的值,求 的联合密度,判断 的独立性.,解,由,得到,解得,可见,故 相互独立.,的联合密度为,可见,故 相互独立.,设 相互独立且服从 ,求方程,有实根的概率,并求当 时这,概率的极限.,解,相互独立且服从 ,所以,的联合密度为,方程 有实根的概率为,当 时,当 时,因而,可见,4.设(,X,Y,)的概率密度是,求(1),A,的值 (2)(X,Y)的分布函数 (3)两个边缘密度.,A,=24.,解 (1),故,积分区域,区域,解 (2),当 时,不论 还是 ,都有,暂时固定,当 时,当 时,当 时,当 时,当 时,当 时,综上,解,(3),当 时,当 时,暂时固定,注意取值范围,综上,当 时,解(2),综上,注意取值范围,5.设(,X,Y,)的概率密度是,(1)X 与Y 是否相互独立?,(2)求,(3)求 概率密度.,解,(1),因为,所以 X 与Y 不独立.,(2),当 时,故,暂时固定,当 时,故,暂时固定,(3),Z=X,+,Y,的密度函数为,暂时固定,当 时,当 时,当 时,四、证明题,在区间 0,1上随机地投掷两点,试证这两点间的距,离的密度函数为,证明,设这两个随机点分别为 X,Y,则有,于是 X,Y 的概率密度,分别为,所以 X,Y 的联合密度为,因为 X,Y 相互独立,这两个随机点 X,Y 的距离为 .,Z 的分布函数为,暂时固定,当 时,当 时,当 时,当 时,当 时,综上,