24.1.3_弧、弦和圆心角(1)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,24.1.3弧、弦、圆心角,圆的对称性,O,轴对称性,复习,圆是中心对称图形吗,?,它的对称中心在哪里,?,思考,圆是中心对称图形，,它的对称中心是圆心,.,将圆绕圆心任意旋转：,O,圆具有旋转不变性,导入,N,O,把圆,O,的半径,ON,绕圆心,O,旋转任意一个角度,，,N,O,N,把圆,O,的半径,ON,绕圆心,O,旋转任意一个角度,，,N,O,N,把圆,O,的半径,ON,绕圆心,O,旋转任意一个角度,，,N,O,N,把圆,O,的半径,ON,绕圆心,O,旋转任意一个角度,，,N,O,N,定理,：,把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合,所以圆具有旋转不变性,把圆,O,的半径,ON,绕圆心,O,旋转任意一个角度,，,由此可以看出，,点,N,仍落在圆上。,圆心角,：我们把顶点在圆心的角叫做,圆心角,.,O,B,A,如图中所示,AO,B,是一个圆心角。,概念,判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。,议一议,如图，将圆心角,AOB,绕圆心,O,旋转到,A,OB,的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？,根据旋转的性质,将圆心角,AOB,绕圆心,O,旋转到,A,OB,的位置时,显然,AOB,A,OB,射线,OA,与,OA,重合,OB,与,OB,重合,.,而同圆的半径相等,OA=OA,OB=OB,从而点,A,与,A,重合,B,与,B,重合,.,O,A,B,O,A,B,A,B,A,B,AB,A,B,=,探究,因此，,AB,与,A,B,重合，,AB,与,AB,重合,同样，还可以得到：,在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角,_,，所对的弦,_,；,在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角,_,，所对的弧,_,这样，我们就得到下面的定理：,在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧,相等，所对的弦也相等,相等,相等,相等,相等,同圆或等圆中，,两个圆心角、两,条弧、两条弦中,有一组量相等，,它们所对应的其,余各组量也相,等,定理,O,A,B,下面的说法正确吗,?,为什么,?,如图,因为,根据圆心角、弧、,弦的,关系定理可知：,想一想,同圆或等圆,如图,AB,、,CD,是,O,的两条弦。,(1),如果,AB=CD,那么,，,。,(2),如果,AB=CD,那么,，,。,(3),如果,AOB=COD,那么,，,。,试一试,(4),如果,AB=CD,OEAB,于,E,OFCD,于,F,OE,与,OF,相等吗？为什么？,试一试,相 等,AB,=,CD,，,AOB=,COD.,又,AO=CO,，,BO=DO,，,AOB,COD.,又,OE,、,OF,是,AB,与,CD,对应边上的高，,OE,=,OF.,圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距,.,在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等,.,同圆或等圆中，,两个圆心角、两,条弧、两条弦、,中有一组量相等，,它们所对应的其,余各组量也相,等,两条弦心距,1,弧,n,1,n,弧,把圆心角等分成,360,份,则每一份的圆心角是,1.,同时整个圆也被分成了,360,份,.,则每一份这样的弧叫做,1,的弧,.,这样,1,的圆心角对着,1,的弧,1,的弧对着,1,的圆心角,.,n,的圆心角对着,n,的弧,n,的弧对着,n,的圆心角,.,性质,:,弧的度数和它所对圆心角的度数相等,.,小结,（,2,）所对的圆心角和 所对的圆 心角相等,在两个圆中，分别有,若 的度数和 相等，则有,（,1,）和 相等,判断,1.,在半径相等的,O,和,O,中,AB,和,A B,所对的圆心,角都是,60.,(1)AB,和,A B,各是多少度,?,(2)AB,和,A B,相等吗,?,(3),在同圆或等圆中,度数相度的弧相等,.,为什么,?,2.,若把圆,5,等分,那么每一份弧是多少度,?,若把圆,8,等分,那么,每一份弧是多少度,?,结束,试一试,O,A,B,C,D,如图，,AC,与,BD,为,O,的两条互 相垂直的直径,.,求证：,AB=BC=CD=DA;,AB=BC=CD=DA.,AB=BC=CD=DA,证明,:,AC,与,BD,为,O,的两条互相垂直的直径,AOB=,BOC=,COD=,DOA=90,AB=BC=CD=DA(,圆心角定理,),点此继续,知识延伸,A,O,C,B,例,1.,如图,在,O,中,ACB=60,(1),求证,:AOB=BOC=AOC,AB=AC,例题讲解,证明：,AB=AC,ABC,是等,腰三角形,又,ACB=60,，,ABC,是等边三角形,AOB,BOC,AOC.,AB=AC,A,O,C,B,例,1.,如图,在,O,中,ACB=60,AB=AC,例题讲解,(2)AOB,、,COB,、,AOC,的度数分别为,_,A,O,C,B,例,1.,如图,在,O,中,ACB=60,AB=AC,例题讲解,(3),若,O,的半径为,r,则等边,ABC,三角形的边长为,_,例,1.,如图,在,O,中,ACB=60,AB=AC,例题讲解,(4),延长,AO,，分别交,BC,于点,P,，交弧,BC,于点,D,连结,BD,CD,。试判断四边形,BDCO,是哪一种特殊四边形，并说明理由。,例,2,如图,AB,是,O,的直径，,COD=,35,求,AOE,的度数,A,O,B,C,D,E,解：,BC=CD=DE,BC=CD=DE,O,1,和,O,2,是等圆,AD,O,1,O,2,正确的是,(,),A,.,AB=CD且ABCD,B,.,AB=CD且ABCD,C,.,AB=CD且AB=CD,D,.,以上都不对,O,1,O,2,A,B,C,D,例,3,如图，已知,AD=BC,，求证,AB=CD.,.,O,A,B,C,D,例,4,如图，,CD,是,O,的弦,AC=BD,OA,、,OB,分别交,CD,于,E,、,F.,求证：,OEF,是等腰三角形,.,O,A,C,D,E,F,B,例,5,变式,：如图,:,在圆,O,中，已知,AC=BD，,试说明：,（1）,OC=OD,（2）AE=BF,如图,已知点,O,是,EPF,的平分线上一点,P,点在,圆外，以,O,为圆心的圆与,EPF,的两边分别相交于,A,、,B,和,C,、,D,.,求证：,AB=CD,分析,:,联想到角平分线的性质,作弦心距,OM,、,ON,，,证明,:,作,垂足分别为,M,、,N.,OM=ON,AB=CD,.,P,A,B,E,C,M,N,D,F,要证,AB=CD,，,只需证,OM=ON,O,例,6,.,P,B,E,D,F,O,A,C,.,如图，,P,点在圆上，,PB=PD,吗？,P,点在圆内，,AB=CD,吗？,P,B,E,M,N,D,F,O,M,N,思考,例,7,、如图，,O,与,ABC,三边均相交，在三边上截得的线段,DE=FG=HK,（,1,）若,A=50,，则,BOC=_,（,2,）若,A=,，则,BOC=_,例,8,、,A,、,B,、,C,、,D,是,O,上四点，且 弧,AB=2,弧,CD,，则弦,AB,与弦,CD,的,2,倍的关系是（）,A,、,AB,2CD B,、,AB=2CD,C,、,AB,2CD D,、不能确定,例,9,、如图，,M,、,N,分别为,O,的非直径弦,AB,、,CD,的中点，,AB=CD,，求证：,AMN=CNM,例,10,、如图，已知,ABC,的三个顶点都在,O,上，,CN,为,O,的直径，,CMAB,，点,F,为弧,AB,的中点，求证：,（,1,）,CF,平分,NCM,（,2,）,AM=NB,C,B,M,F,N,A,O,例,11,、如图，,A,、,B,、,C,是,O,上三个点，连接弧,AB,和弧,AC,的中点,D,、,E,的弦交弦,AB,、,AC,于,F,、,G,，求证：,AF=AG,A,D,E,B,C,F,G,.O,1,相等的圆心角所对的弧相等。（）,2.,如图，,O,中，,AB=CD,，则,O,D,C,A,B,1,2,试一试你的能力,50,o,3,、如图，在,O,中，,AC=BD,，,求,2,的度数。,4.,如图，在,O,中，,AB,AC,，,B,70,.,求,C,度数,.,5,、如图，在三个等圆上各有一条劣弧,弧,AB,，弧,CD,，弧,EF,，如果弧,AB+,弧,CD=,弧,EF,，那么,AB+CD,与,EF,的大小关系是（）,A,、,AB+CD=EF B,、,AB+CD,EF,C,、,AB+CD,EF D,、不确定,6,、如图，在,ABC,中，,ABC=90,0,，,C=40,0,求弧,AD,的度数。,弧的度数就是该弧所对圆心角的度数。,7,、在圆中，若弧,AB,的度数是,90,0,，那么弧,AB,的长是圆周长的,_,。,8,、若弦,AB,等于,O,的半径，则弦所对的圆心角度数是,_,9,如图，,AB,是,O,的直径，,BC,、,CD,、,DA,是,O,的弦，且,BC,CD,DA,，求弧,BD,的度数,.,10,、如图所示，在,O,中，,AC,是直径，弦,AB=CD,，求证：,AOD=BOC,O,A,C,D,B,11,、如图所示，,AB,、,CD,是,O,的直径，,DF,、,BE,是弦，且,DF=BE,。求证：,B=D,12,、如图所示，已知以平行四边形,ABCD,的顶点,A,为圆心，以,AB,长为半径作圆交,AD,于点,F,，交,BC,于点,G,，,BA,的延长线交,A,于点,E,。求证：弧,EF=,弧,FG,13,、如图所示，已知,AOB=90,，,C,、,D,是弧,AB,的三等分点，,AB,分别交,OC,，,OD,于点,E,，,F,。求证：,AE=BF=CD,14,、如图所示，,AB,是,O,的弦，,C,、,D,为弦,AB,上两点，且,OC=OD,，延长,OC,、,OD,分别交,O,于点,E,、,F,，求证：弧,AE=,弧,BF,15,、已知：如图，在,O,中，弧,AB=,弧,BC=,弧,CD,，,OB,、,OC,分别交,AC,、,DB,于点,M,、,N,，判断,OMN,的形状并证明,B,C,O,A,D,M,N,