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,考点清单,方法技巧,栏目索引,3.2,导数的应用,数学 北京专用,考点一导数与函数的单调性,考点,清单,考向基础,设函数,f,(,x,)在区间(,a,b,)内可导,f,(,x,)是,f,(,x,)的导数,则,f,(,x,)0,f,(,x,)在(,a,b,)内,单调递增,f,(,x,)0是,f,(,x,)在(,a,b,)上为递增函数的,充分不必要条件,;,f,(,x,)0,即并不是在定义域中的任意一点处都满足,f,(,x,)0.,(3)研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响,进行分类讨论.,考向突破,考向一利用导数求函数的单调区间,例1,(2019北京海淀一模文,19改编)求函数,f,(,x,)=,x,3,-,x,2,+6,x,-1在(0,+,)上,的单调区间.,解析,解法一(解不等式法):函数的定义域为(0,+,),f,(,x,)=,x,2,-5,x,+6=(,x,-2)(,x,-3),由,f,(,x,)0,得0,x,3,由,f,(,x,)0,得2,x,3.,所以,f,(,x,)在(0,+,)上的单调递增区间是(0,2),(3,+,),单调递减区间是(2,3),解法二(列表法):函数的定义域为(0,+,),f,(,x,)=,x,2,-5,x,+6=(,x,-2)(,x,-3),令,f,(,x,)=0,得,x,=2或,x,=3.,当,x,变化时,f,(,x,),f,(,x,)的变化情况如下表:,所以,f,(,x,)在(0,+,)上的单调递增区间是(0,2),(3,+,),单调递减区间是,(2,3).,x,(0,2),(2,3),(3,+,),f,(,x,),+,-,+,f,(,x,),考向二由函数的单调性求参数的取值范围,例2,(2019北京海淀一模文,20改编)已知函数,f,(,x,)=e,x,-,x,2,-,ax,(,a,R)是R上的,增函数,求,a,的取值范围.,解析,由题意得,f,(,x,)=e,x,-,x,-,a,因为,f,(,x,)是R上的增函数,所以,f,(,x,),0恒成立,即,f,(,x,)的最小值,f,(,x,),min,0.,令,g,(,x,)=,f,(,x,)=e,x,-,x,-,a,(,x,R),则,g,(,x,)=e,x,-1.,在(-,0)上,g,(,x,)0,f,(,x,)单调递增.,所以,f,(,x,),min,=,f,(0)=1-,a,.,所以1-,a,0,即,a,1.,所以,a,的取值范围是(-,1.,考点二导数与函数的极(最)值,考向基础,1.函数的极值与导数,定义,设函数,f,(,x,)在点,x,0,附近有定义,如果对,x,0,附近的所有的点,都有,f,(,x,),f,(,x,0,),则,f,(,x,0,)是函数,f,(,x,)的一个极小值,记作,f,(,x,),极小值,=,f,(,x,0,).极大值与极小值统称为极值,结论,设函数,f,(,x,)在点,x,0,处连续.,(1)如果在,x,0,附近的左侧,f,(,x,)0,右侧,f,(,x,)0,那么,f,(,x,0,)是极大值;,(2)如果在,x,0,附近的左侧,f,(,x,)0,那么,f,(,x,0,)是极小值;,(3)如果在,x,0,附近的左、右两侧导数值,同号,那么,f,(,x,0,)不是极值,利用导,数求函,数极值,的步骤,(1)求,f,(,x,);,(2)求方程,f,(,x,)=0的根;,(3)判断,f,(,x,)在方程的根的左、右两侧值的符号;,(4)利用结论求出极值,注:(1)在函数的整个定义域内,函数的极值不一定唯一,在整个定义域,内可能有多个极大值和极小值;,(2)极大值与极小值没有必然关系,极大值可能比极小值还小;,(3)导数等于零的点不一定是极值点(例如:,f,(,x,)=,x,3,f,(,x,)=3,x,2,当,x,=0时,f,(0)=0,但,x,=0不是函数的极值点);,(4)对于处处可导的函数,极值点的导数必为零.,2.函数的最大值与最小值,(1)函数的最大值与最小值:在闭区间,a,b,上连续的函数,f,(,x,),在,a,b,上必有,最大值与最小值;但在开区间(,a,b,)内连续的函数,f,(,x,)不一定有最大值与最,小值.,(2)设函数,f,(,x,)在,a,b,上连续,在(,a,b,)内可导,求,f,(,x,)在,a,b,上的最大值与最小,值的步骤如下:,(i)求,f,(,x,)在(,a,b,)内的,极值,;,(ii)将,f,(,x,)的,各极值,与,f,(,a,)、,f,(,b,),比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个,是最小值.,【知识拓展】,1.若函数,f,(,x,)的图象连续不断,则,f,(,x,)在,a,b,上一定有最值.,2.若函数,f,(,x,)在,a,b,上是单调函数,则,f,(,x,)一定在区间端点处取得最值.,3.若函数,f,(,x,)在区间,a,b,内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的,最值点.,考向突破,考向一利用导数求函数的极值,例3,(2015陕西文,15,5分)函数,y,=,x,e,x,在其极值点处的切线方程为,.,解析,由,y,=,x,e,x,可得,y,=e,x,+,x,e,x,=e,x,(,x,+1),从而可得,y,=,x,e,x,在(-,-1)上递减,在(-1,+,)上递增,所以当,x,=-1时,y,=,x,e,x,取得极小值-e,-1,因为,y,|,x,=-1,=0,故切线方程为,y,=-e,-1,即,y,=-,.,答案,y,=-,考向二利用导数求函数的最值,例4,(2018江苏,11,5分)若函数,f,(,x,)=2,x,3,-,ax,2,+1(,a,R)在(0,+,)内有且只有,一个零点,则,f,(,x,)在-1,1上的最大值与最小值的和为,.,解析,f,(,x,)=2,x,3,-,ax,2,+1,f,(,x,)=6,x,2,-2,ax,=2,x,(3,x,-,a,).,若,a,0,则,x,0时,f,(,x,)0,f,(,x,)在(0,+,)上为增函数.又,f,(0)=1,f,(,x,)在(0,+,)上没有零点,a,0.,当0,x,时,f,(,x,),时,f,(,x,)0,f,(,x,)为增函数,x,0时,f,(,x,)有极小值,为,f,=-,+1.,f,(,x,)在(0,+,)内有且只有一个零点,f,=0,a,=3.,f,(,x,)=2,x,3,-3,x,2,+1,则,f,(,x,)=6,x,(,x,-1).,当,x,变化时,f,(,x,),f,(,x,)的变化情况如下表:,x,-1,(-1,0),0,(0,1),1,f,(,x,),+,-,f,(,x,),-4,增,1,减,0,f,(,x,)在-1,1上的最大值为1,最小值为-4.,最大值与最小值的和为-3.,答案,-3,考点三导数的综合应用,考向基础,生活中的优化问题,(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通,常称为优化问题,导数在这一类问题中有着重要的作用,它是求函数最大,(小)值的有力工具.,(2)解决优化问题的基本思路:,考向突破,考向用导数研究生活中的优化问题,例5,如图,将一张16 cm,10 cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形,使,得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒,则这个纸盒的最大容,积是,cm,3,.,解析,设剪下的四个小正方形的边长为,x,cm,则糊成的长方体纸盒长为(16,-2,x,)cm,宽为(10-2,x,)cm,高为,x,cm,其体积为,V,(,x,)=(16-2,x,)(10-2,x,),x,=4,x,3,-52,x,2,+1,60,x,(0,x,0,得0,x,2,由,V,(,x,)0,得2,x,5,所以函数,V,(,x,)=4,x,3,-52,x,2,+160,x,(0,x,0,那么函数,y,=,f,(,x,)在这个区间内单调递增;如,果,f,(,x,)0.令,f,(,x,)=0,得,x,=,a,.,当,a,0时,f,(,x,)0,f,(,x,)在(0,)上单调递增;,当0,a,时,f,(,x,),f,(,x,)随,x,的变化情况如下表:,所以,f,(,x,)的单调递增区间是(0,a,),单调递减区间是(,a,).,综上所述,当,a,0时,f,(,x,)在(0,)上单调递减;,当,a,时,f,(,x,)在(0,)上单调递增;,x,(0,a,),a,(,a,),f,(,x,),+,0,-,f,(,x,),极大值,当0,a,0时,f,(,x,)的定义域为(0,+,).当,x,变化时,f,(,x,),f,(,x,)变化情况如下表:,此时,f,(,x,)有极大值,f,=,无极小值.,当,a,0时,f,(,x,)的定义域为(-,0).当,x,变化时,f,(,x,),f,(,x,)变化情况如下表:,x,f,(,x,),+,0,-,f,(,x,),极大值,x,f,(,x,),-,0,+,f,(,x,),极小值,此时,f,(,x,)有极小值,f,=,无极大值.,方法3,利用导数解决不等式问题,1.利用导数证明不等式,若证明,f,(,x,),g,(,x,),x,(,a,b,),可以构造函数,F,(,x,)=,f,(,x,)-,g,(,x,),如果能证明,F,(,x,)在(,a,b,)上的最大值小于0,即可证明,f,(,x,),g,(,x,),x,(,a,b,).,2.利用导数解决不等式的恒成立问题,“恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题,一般都可通过求相关函数,的最值来解决,如:当,f,(,x,)在,x,D,上存在最大值和最小值时,若,f,(,x,),g,(,a,)对于,x,D,恒成立,应求,f,(,x,)在,x,D,上的最小值,将原条件转化为,f,(,x,),min,g,(,a,),若,f,(,x,),g,(,a,)对于,x,D,恒成立,应求,f,(,x,)在,x,D,上的最大值,将原条件转化为,f,(,x,),max,g,(,a,);若存在,x,D,使得,f,(,x,),g,(,a,)成立,应求,f,(,x,)在,x,D,上的最大值,将原,条件转化为,f,(,x,),max,g,(,a,),若存在,x,D,使得,f,(,x,),g,(,a,)成立,应求,f,(,x,)在,x,D,上,的最小值,将原条件转化为,f,(,x,),min,g,(,a,).,例3,(2020届北京海淀期中,19)已知函数,f,(,x,)=,.,(1)判断函数,f,(,x,)在区间(0,1)上的单调性,并说明理由;,(2)求证:,f,(,x,)1,ln,x,0.,又因为e,x,0,所以,f,(,x,)0在区间(0,1)上恒成立,所以,f,(,x,)在区间(0,1)上是单调递增函数.,(2)证明:由题意可得,x,(0,+,).,由(1)知,f,(,x,)=,令,g,(,x,)=,-ln,x,(,x,0),则,g,(,x,)=-,-,0,g,(e)=,-10,所以存在唯一实数,x,0,使得,g,(,x,0,)=0,即,-ln,x,0,=0,其中,x,0,(1,e).,当,x,变化时,f,(,x,),f,(,x,)的变化如表:,所以,f,(,x,0,)为函数,f,(,x,)的极大值,也是最大值,所以,f,(,x,),max,=,f,(,x,0,)=,.因为,=ln,x,0,所以,f,(,x,),max,=,.,因为,x,0,(1,e),x,(0,x,0,),x,0,(,x,0,+,),f,(,x,),+,0,-,f,(,x,),极大值,所以,f,(,x,),max,=,所以,f,(,x,)0时,讨论,f,(,x,)的零点个数.,解题导引,解析,(1)当,a,=0时,f,(,x,)=,x,sin,x,+cos,x,x,-,f,(,x,)=sin,x,+,x,cos,x,-sin,x,=,x,cos,x,.,当,x,在区间-,上变化时,f,(,x,),f,(,x,)的变化情况如表:,所以,f,(,x,)的单调增区间为,;,f,(
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