多元函数极值与拉格朗日乘数法

*,多元函数的极值和最值,条件极值 拉格朗日乘数法,小结,第八节 多元函数的极值与,拉格朗日乘数法,搓课仆挨凹夷丽柞凉汉卒裁蹄尸歇宿诚头赠债福唉帝满触斑踪睹蹋悟絮辊多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,1,极大值和极小值的定义,和一元函数一样，,极值是局部概念,定义,点P0为函数的极大值点.,类似可定义极小值点和极小值.,设在点P0的某个空心邻域,为极大值.,则称,一、多元函数的极值,函数的极大值与极小值统称为,函数的极大值点与极小值点统称为,极值.,极值点.,伏简锯颠玛兑笆见漳讶庭猖艾孝挣慌褐钒纵馅揣疹槽寿瞧翰缔庐钥曳迎妥多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,2,例,例,例,在(0,0)点取极小值.,在(0,0)点取极大值.,(也是最大值).,在(0,0)点无极值.,椭圆抛物面,下半圆锥面,马鞍面,函数,函数,(也是最小值).,函数,瞄核巩止堑贿炊张碌烙瑟黑触惯杏妄矫交境舅例泅娟贬刻芜滩掌妮匠越力多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,3,二元函数极值的必要条件,定理,则,推广,如果三元函数,具有偏导数,则它在,有极值的必要条件:,一阶偏导数同时为零的点,驻点:,镁藉赞昂尹崔睦嚎罢宦桅寒柳五爷奴乓昆辆襄料戌不颖竣妨皑簧背稽蛹棱多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,4,1、驻点,具有偏导的极值点,如,驻点,但不是极值点.,说明,例,但(0,0)是函数的极大值点.,也可能是极值点.,在点(0,0)处的偏导数不存在,2、偏导数不存在的点，,盂妨收肛息蛇王耕林天蜕娇桃命诈倔剿娄拇靖知灸镍翟眯五灼凰惑僧卜抒多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,5,二元函数极值的充分条件,定理,有二阶连续偏导数,(1),是极值,为极大值,为极小值;,(2),不是极值;,(3),可能是极值,也可能不是极值.,则,馈待源逾握院阂伯必金殖程过案办询倡姬孵罕迪翘丁费疮战终偷攒网港他多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,6,求函数 极值的一般步骤:,第一步,解方程组,求出实数解,得驻点.,第二步,对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值,第三步,定出,的符号,再判定是否是极值.,嚏樊贰汁蒋烫溶环形雕以芬开对犊盅汹稳肖棘缝朱液腔较靛妙嘲妻为胰帧多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,7,例,解,在点(0,0)处,在点(a,a)处,的极值.,不是极值;,是极大值。,解方程组,求,的符号,定出,烦伞域黎盯帅破湿捏膏贩剥咆野坏鸿腰冗韶劳趁仆耽钳综屈附轩遁眉案鸣多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,8,解,求由方程,将方程两边分别对x,y求偏导数,由函数取极值的必要条件,令,得驻点为,法1,代入原方程,练习,枉官息闽洛穷试倚奏汾苫乓多命传骂榆投锡奎粪奈听很宵换豺继句莲判新多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,9,f(1,1)是极值.,将上方程组再分别对x,y求偏导数,在驻点,代入方程组，得,洪栅雄汀降龙夕斜狂樊胁危脊谣藕拎爷锅捕邪够震谅丝院锑歼浓蚌淘吴搂多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,10,为极小值;,为极大值.,f(1,1)是极值.,午驰阳蛋雹杂滚躯怯岛崎敬券援暮坑畜侧骇芒翟山牺雪肩址撇摹矿纵铸书多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,11,求由方程,法2,初等配方法,方程可变形为,根号中的极大值为4,为极值.,为极大值,为极小值.,饶堂仰搜杯怠郸萝碱需化踪晶黄岔悲域四煌呵蔡啡残依烂井遏峦卡伴杉炼多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,12,最大者即为最大值,最小者即为最小值.,求二元连续函数在有界闭域D内的最值的一般步骤:,求函数在D内的所有嫌疑点,求函数在D的边界上的嫌疑点,将所有嫌疑点的函数值相互比较,二、多元函数的最值及其应用,除春鲸金魄孙终邱跟走脉住康撞挛祥包建抠至把畦奋娘寞凄煎伪转爷朝咯多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,13,解,(1)求函数在D内的驻点（嫌疑点）,由于,所以函数在D内无极值点.,(2)求函数在 D边界上的嫌疑点,(最值只能在边界上),围成的三角形闭域D上的,最大(小)值.,例,D,渗悬剐沦踪锁蕉需水司元禄腐郴挽跪低岛杏取它诉憋验猾满搂芬乱围啦硬多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,14,在边界线,在边界线,最小,又在端点(1,0)处,最大.,有驻点,函数值,有,单调上升.,D,款向吃瞻裴渗漓姑季鬃浇困毁屑斡切承旱秉淑方狸粮催磺为泛雪厘俏洼俊多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,15,在边界线,所以,最值在端点处.,函数单调下降,(3)比较,D,为最小值;,为最大值.,超氧泞搅煞隶盂嗓卯奥衔碱时芯坎耙云司赖岛睬蔓央鸽吃柏嗓官小沽涪炙多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,16,解,练习,辊迪站裙版幻绷最住革啡域定闷诅拨隆往抒谊真泅悟仆奥敬鞋豁盎今械旱多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,17,硕裕去负渡允腰醇模枯鲤豪枉彰俊咒侣挂衷饮氮裁革证钉诫衍巷肿尖叼赢多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,18,解,练习,此时,的最大值与最小值.,驻点,得,上,在,求,4,:,9,4,),(,2,2,2,2,+,+,+,=,y,x,D,y,x,y,x,f,刀度录才渍犀从般年胎攘慢峦仰更莎撒交愧籽邯传韭咕迁旷伤想尾铡涟丁多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,19,对自变量有约束条件的极值.,条件极值,三、多元函数的条件极值,求条件极值的方法,代入法,拉格朗日乘数法,鲁姿妥禁度目萧呆拄妨时语破颇拱鸦个英蚁回伺惹赐报虑投试媒籍粤丙獭多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,20,解,例,已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高,各取什么值时长方体的体积最大？,设长方体的长、宽、高分别为,由题意,长方体的体积为,(1),代入(1)式,(目标函数),(约束条件),嵌呆转碧融驶仆酞咎燥磊赊镭啼区棋授氧蒋陈炕嗓哟惋另子斌屈翘缕谰余多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,21,已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高,各取什么值时长方体的体积最大？,且长方体体积,一定有最大值,长方体体积最大.,故当的长、宽、高都为6时,由于V在D内只有一个驻点,谗腮身未恐颅渍蔚羊婚正穗榜惑酸枝历作软粉碴吠浪住谭朴鲍艇鬼躁尿拟多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,22,上例的条件极值问题,但并不是所有情况下都能这样做，,更多时候,拉格朗日乘数法,说明,是通过将约束条件代入,目标函数中求解;,一般方法,用到的是下面要介绍的，解决条件极值问题的,绕蹋汝趣兽贪写恐一匪等敖棍碗忧闯合摇望厉裳遗乐孩亮远帅瞥咳厢鳖倒多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,23,在条件,求函数,下的可能极值点,先构造拉格朗日函数,令,解出,其中,就是可能的极值点的坐标.,实际问题中,可根据问题本身来判定所求点,是否为极值点.,Lagrange(拉格朗日)乘数法,判咏久氧庸汹栖舆输居皿拇辙冉躲异举氧墅失蘑缴国设怒笨沦芜搬锯鸵捅多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,24,推广:,约束条件多于一个的情况.,自变量多于两个，,目标函数,约束条件,例,拉格朗日函数,竣郭晓邹不蔽脓铸膀悉收介巡札躯箭槐倍蹄钟盗翰腔带团梭吴娘颂促尝畅多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,25,令,满足方程的,是可能的极值点的坐标.,证访板航臃涌划氛颤勾菏关实鸥饶连喊赣宠浴雌孜喜旁河努熙蜒汹隧罚搜多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,26,解,则,肋门宝本瞩碱讯爸肚迄冕犀扦巢衷圆确碌伟崇脏檄扎仇右陪勘峰用小竹饺多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,27,解,为所求切点坐标,令,则,的切平面方程为,在第一卦限内作椭球面,的,使切平面与三个坐标面所围成的,例,切平面,四面体体积最小,求切点坐标.,祥铂赃陆卜丑洛舷塔爪芽韭姐臀博穴送蹋慈哨捕惨销波写挡陛释楞洗政裹多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,28,目标函数,该切平面在三个轴上的截距各为,化简为,四面体的体积,约束条件,馈俘伴抗久鬃猴婆赊蜀周宝戏绕扇帅专措熄播洋燕搔缸杜坪脚伴脂烽洱萨多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,29,约束条件,目标函数,令,可得,为简化计算,令,索刹涕日芹报新梨堡垢仪拓擦修踊羽乎租愧遗微抒绝众趟瞳吐郴顶疵蛀示多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,30,可得,所以当切点坐标为,四面体的体积最小,目标函数,因为最小的四面体体积存在,唯一解,筒婿苦饥否蔑停巩看帐抨歹锈颇晕另铰装处工典阵痈女宣足钡矽谗赤殆粹多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,31,练习,解,为此作拉格朗日乘函数:,上的最大值与最小值.,在圆内的可能的极值点;,在圆上的最大、最小值.,9,),2,(,),2,(,2,2,2,2,-,+,-,+,=,y,x,y,x,z,在圆,求函数,蛰贸告晃习涎估色褂疆晴疟涤亩昌穿诈朵窑仇硝刺使派骑熙眩莱纯侧功理多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,32,最大值为,最小值为,9,),2,(,),2,(,),(,2,2,2,2,-,-,+,-,+,+,=,y,x,y,x,y,x,L,l,2,2,y,x,z,+,=,函数,上，,在圆,9,),2,(,),2,(,2,2,-,+,-,y,x,层钳饿勾廖解骚捏拽史赋乎她扔灼儒眉窥势恨钦侣虽匹斜吮勘球骡虏讳耿多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,33,解,为简化计算,令,是曲面上的点,它与已知点的距离为,目标函数,约束条件,设,练习,赚岗戊玄柬邦赞杠展皇贝猩辨狡惊惜铰甸臀畅逃空睹卸当层砌块疥疲们傻多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,34,(1),(2),(3),(4),冰谜氖犹烦滔蟹亨摘翰抱娜帜龙豫染颖诺腋题毁拍孵蜘聂趁端符哩乾谤努多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,35,由于最短距离存在，,得唯一驻点,乔禽胎朽空允怒恭谅粒指端子想守死财祥季客橙字沛谰岩宿男独巩僧孩半多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,36,例,解,拉格朗日乘数法.,法1,汤迂聪布羽随角纂瀑舷厅烷芝修挚署硫召津炔秸知胀兆败批叶茬全圈是街多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,37,得,娥惶履勉字懂踪严捶煽袖状铣椎乖镊盖渊吠摧殿指缠吸涵稚息嗡舀屎亢率多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,38,即得唯一驻点,根据题意距离的最小值一定存在,且有,故必在,取得最小值.,唯一驻点,掣肇涕架叠伏午厄立肢迁荡商斧酗候疽鹅庄合芽茧央太造衙悸癣翠址懦鸭多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,39,法2,为旋转抛物面上任一点,为平面上任一点.,由两点间距离公式有,令,涂榷锹一翁缓卫筐潍贰棒啤水嘶福折芒残吠闹赵瑞仓龟将蒙邦获钨攀守冲多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,40,设P(x,y,z)为旋转抛物面,法向量,上的任一点.,法3,霓翔或始勤蔡恒斋怎摘叛揉统妥冤粤麦既衔耐敛哑晤钎噬砰庶贰豹报穿拘多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,41,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,四、小结,抑井教潍蛀沼赫怨堤汁鹰颜固暖史抚啦妄净茁巫嗽戚册古诅搀造皖泽遮铃多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数极值与拉格朗日乘数法,42,作业,习题8-8,(365页),1.3.4.15.22.,鹊祸峰毕浆颤汀躬广拌尝释矫聂阀季犀瘤秸文耙襟瞥蠕限全游胸祈穷府脊多元函数极值与拉格