函数的连续性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 函数的连续性,1,连续性概念,教学内容,：,1.,连续性概念的引入；,2.,连续的几个等价定义；,3.,间断点的定义以及分类。,教学,重点,：,函数的点连续概念,。,教学,难点,：,间断点的分类,。,问题的提出：,（,1,）自然界中有许多现象,如气温变化，河水流动，植物的生长等，都是连续地变化着的,.,这种现象在函数关系上的反应,就是函数的连续性,.,（,2,）直观上来说，连续函数的图象是一条连绵不断的曲线。（如图,1,）,O,x,y,图1,一、函数在一点的连续性,1,定义的引入,先回顾一下函数在,点的极限,定义中要求,在,的某个空心邻域内有定义，即,在,有没有定义、定义为多少,均与极限有没有、极限为多少无关。这里,可以有三种情况：,A,无定义，比如上章讲过的特殊极限,（图,2,）,比如,（图,3,）,(,图,1,）,x,O,y,图2,x,O,y,图3,A,第,3,种情况与前两种情况不同，要求,在,有定义且极限等于,我们称这种情况为,在,处连续。,2,.,在,处连续的定义,定义,1,设函数,在,的某邻域,内有定义，若,（,1,）,则称,函数,在,点连续,。,3,等价定义,先引入增量的定义：记,自变量,的增量,或,改变量,；,称为函数,的增量,或,改变量,。,要说明的是,增量,可以是正的，也可以是负的或,0,。它们关系的几何意义如图,4,所示,x,O,y,图4,利用增量定义得,等价定义,1,：,设函数,函数,在,点连续,。,等价定义,2,：,设函数,函数,在,点连续,。,注意：,例,1,4,左、右连续的定义,当遇到分段函数的分段点或区间的端点时，依定义,1,不能讨论,的连续性，为此我们在定义,1,的基础上，由,在,左、右极限的定义得,定义,2,则称,函数,在,点右连续（,或,左连续）,。,根据左、右极限与极限的关系我们容易得左、右连续和连续的关系,定理,4.1,在,点连续的充要条件为：,在,点既右连续又左连续。,由定理我们知道，要判别分段函数在分段点的连续性可通过左、右连续来讨论。,例,2,2,2,x,y,O,x+2,x-2,图5,二,.,间断点及其分类,1,间断点的定义,定义,3,间断点,或,不连续点,。,从定义我们可以得到，,根据这几种情形，联系左、右极限，我们对函数的间断点进行分类,2,间断点的分类,1,）可去间断点：,可去间断点。,例,3,例,4,说明,:,2,）跳跃间断点：,跳跃间断点。,例,例,6,：,。,。,。,。,。,。,x,y,O,1,2,3,4,-1,-2,1,2,3,-1,-2,图6,。,。,.,x,y,O,1,-1,图7,f(x)=,sgnx,f(x)=x,我们把,可去间断点,和,跳跃间断点,通称为,第一类间断点。,注意：,第一类间断点的特点是函数在该点的左、右极限均存在。,3,）第二类间断点：,函数至少有一侧极限不存在的那些点成为,第二类间断点。,三,.,区间上的连续函数,1,区间上的连续函数,若函数,f(x),在区间（,a,b),上的每一点都连续，则称,f(x),为,（,a,b),上的,连续函数（,或称,f(x),在（,a,b),上连续）,；,若函数,f(x),在区间（,a,b),上连续，且在,x=a,右连续，在,x=b,左,连续，,则称,f(x),为,a,b,上的连续函数（,或称,f(x),在,a,b,上连续）。,2,分段连续函数,若函数,f(x),在区间,a,b,上,仅有有限个第一类间断点,，,则称,f(x),为,a,b,上的分段连续函数（,或称,f(x),在,a,b,上分段连续）。,