教育专题：21数学活动

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学活动,R,九年级上册,状元成才路,新课导入,导入课题,点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以组成一个点阵,.,今天我们就来看看点阵中隐藏了什么有趣的数学规律,.,状元成才路,推进新课,图,1,是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有,1,个点，第二行有,2,个点,第,n,行有,n,个点,.,观,察图形，完成下面各题,.,图,1,活 动,1,三角形点阵,状元成才路,下表是该点阵前,n,行的点数和，请你按要求把它填写完整,前,n,行数,1,2,3,4,5,10,n,点数和,状元成才路,若该三角点阵前,n,行的点数和是,300,，求行数,n,.,由知,.,前,n,行的点数和为,，解得,n,1,=24,，,n,2,=-25(,舍去,),，即行数,n,为,24.,状元成才路,该三角点阵前,n,行的点数和能是,600,吗？如果能，求出其行数,n,；如果不能，请说明理由,.,前,n,行的点数和,解得,n,1,= ,n,2,= ,因为,n,是正整数，方程的两根均不符合条件，所以三角点阵前,n,行的点数和不能是,600.,状元成才路,如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为,2,，,4,，,6,，,，,2,n,，,，你能探究出前,n,行的点数和满足什么规律吗？,前,n,行的点数和为,状元成才路,在中，三角点阵中前,n,行的点数和能是,600,吗？如果能，求出,n,；如果不能，试用一元二次方程说明理由,.,依题意，,n,(,n,+1)=600.,解得,n,1,=24,，,n,2,=-25(,舍去,),.,状元成才路,活 动,2,正六边形点阵,如图,2,是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算作,第一层,，,第二,层每边有两个点，第三层每边有三个点，,，依此类推,.,图,2,状元成才路,填写下表,：,层 数,1,2,3,4,该层对应的点数,所有层的总点数,层 数,1,2,3,4,该层对应的点数,所有层的总点数,状元成才路,第,n,层所对应的点数为,（,n,2,）,.,写出,n,层正六边形点阵的总点数（,n,2,）,；,6(,n,-1),1+61+62+,+6(,n,-1),=1+6,=1+3,n,(,n,-1),状元成才路,如果点阵中所有层的总点数为,331,，请求出它共有几层？,1+3,n,(,n,-1)=331,化简方程为：,n,2,-,n,-110=0,分解因式为：,(,n,-11)(,n,+10)=0,解得：,n,1,=11,，,n,2,=-10(,舍去,),，,所以,共有,11,层,.,状元成才路,1.,古希腊著名的毕达哥拉斯学派把,1,，,3,，,6,，,10,这样的数称为,“,三角形数,”,，而把,1,，,4,，,9,，,16,这样的数称为,“,正方形数,”.,观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律,.,（,1,）下图反映了一个,“,三角形数,”,是如何得到的，认真观察，并在后面的横线上写出相应的等式,；,1=1,；,1+2=,；,1+2+3=,；,1+2+3+4=,.,状元成才路,（,2,）通过猜想，写出（,1,）中与第九个点阵相对应的等式：,。,（,3,）,2015,是,“,三角形数,”,吗？为什么？,解：不是,.“,三角形数,”,都可以写成,的形式，,令,2015=,，,解得,n,1,=,，,n,2,= .,因为,n,是正整数，方程的两根均不符合条件，所以,2015,不是,“,三角形,”,数,.,状元成才路,（,4,）从下图中可以发现，任何一个大于,1,的,“,正方形数,”,都可以看作两个相邻,“,三角形数,”,之和,.,结合（,1,）观察下列点阵图，并在后面的横线上写出相应的等式,.,状元成才路,1=1,2,；,1+3=2,2,；,3+6=3,2,；,6+10=4,2,；,.,10+15=5,2,（,5,）通过猜想，写出（,4,）中与第,n,个点阵相对应的等式：,.,状元成才路,（,6,）判断,225,是不是,“,正方形数,”,，如果不是，说明理由；如果是，,225,可以看作哪两个相邻的,“,三角形数,”,之和？,解：是,.,15,2,=225.,225,是,“,正方形数,”.,由,(5),得,，,，,225,可以看作,105,，,120,这两个相邻的,“,三角形数,”,之和,.,状元成才路,2.,如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面,.,请观察下列图形并解答有关问题：,(1),在第,n,个图中，每一横行共有,块瓷砖，每一竖列共有,块瓷砖,(,均用含,n,的代数式表示,),；,(,n,+3),(,n,+2),状元成才路,(2),按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了,506,块瓷砖，求此时,n,的值；,解：,(2),第,n,个图共有,(,n,2,+5,n,+6),块瓷砖,.,由,n,2,+5,n,+6=506.,解得,n,1,=20,n,2,=-25(,舍去,).,n,=20.,状元成才路,(3),若黑瓷砖每块,4,元，白瓷砖每块,3,元，在问题,(2),中，共需花多少元钱购买瓷砖,?,白瓷砖块数是,n,(,n,+1)=20(20+1)=420,黑瓷砖块数是,506-420=86.,864+4203=1604(,元,).,共需,1604,元钱购买瓷砖,.,状元成才路,(4),是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形,?,请通过计算说明为什么,?,在第,n,个图中白瓷砖块数是,n,(,n,+1).,则有,n,(,n,+1)=(,n,2,+5,n,+6)-,n,(,n,+1),化简得,n,2,-3,n,-6=0,解得,n,1,= ,n,2,= .,n,为正整数，不合题意,.,不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形,.,状元成才路,课堂小结,三角形点阵,前,n,行数点数和,正六边形,第,n,层所对应的点数,（,n,2,）,6(,n,-1),n,层正六边形点阵的总点数（,n,2,）；,1+3,n,(,n,-1),状元成才路,