线性方程式系统

,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,*,1-,*,第一章線性方程式系統,1.1,線性方程式系統簡介,1.2,高斯消去法與高斯,-,喬登消去法,1.3,線性方程式系統的應用(-,Skip-),10/2/2024,1,1.1,線性方程式系統簡介,n,個變數的線性方程式,(,linear equation),係數,a,1,，,a,2,，,a,3,，,，,a,n,都是實數，並且常數項,b,也是實數。,a,1,稱為,領先係數,(,leading coefficient),，,x,1,稱為,領先變數,(,leading variable),。,注意：,(1),線性方程式之變數不可以是,相乘,或是,開根號,，且,變數不能被包含在,三角,、,指數,或,對數函數,裡面。,(2),變數只能以,第一冪次,的方程式表示,。,2,範例,1：,線性、非線性,3,n,個變數線性方程式的解,(,solution),解集合,(,solution set),所有滿足線性方程式的解所構成的集合。,當,使得,4,範例,2,：,解集合的參數化表示,(,parametric representation),將方程式整理成 ，並令,可得,則解集合為,或,其中一解為,(2,1),，即,5,n,個變數,m,條線性方程式系統,(,system of linear equations),一致性,(,consistent),線性方程式系統至少有一解,非一致性,(,inconsistent),線性方程式系統無解,6,對一線性方程式系統而言，下列有一為真,(1),系統只有唯一解,(,一致性系統,),(2),系統有無限多組解,(,一致性系統,),(3),系統為無解,(,非一致性系統,),7,範例,4：(,線性方程式系統的解,),(1),(2),(3),8,範例,5,：使用回代法,(,back substitution),解列梯形形式的方程式系統,解：,將 代入,(1),可得,此系統有唯一解,9,範例,6,：使用回代法解列梯形形式的方程式系統,解：,將 代入,(2),可得,再將 及 代入,(1)得,此系統有唯一解,10,等價,(,equivalent),若兩線性方程式系統的解集合完全相同，,則稱此兩 線性方程式系統為等價,下列運算會產生兩個等價的線性方程式系統,(1),兩方程式互換,(2),一方程式乘上一非零常數,(3),一方程式的倍數加到另一方程式,11,範例,7,：利用高斯消去法將線性方程式系統改寫成列梯形形式,解：,12,所以此系統的解為,(,唯一解,),13,範例,8,：求解線性方程式系統,(,非一致性,(,矛盾,),系統,),解：,14,所以此線性方程式系統無解,15,範例,9,：求解線性方程式系統,(,無限多組解,),解：,16,則,令,所以此系統有無限多組解,17,摘要與復習,(1.1,節之關鍵詞,),linear equation:,線性方程式,system of linear equation:,線性方程系統,leading coefficient:,領先係數,leading variable:,領先變數,solution:,解,solution set:,解集合,parametric representation:,參數化表示,consistent:,一致性,(,有解,),inconsistent:,非一致性,(,無解、矛盾,),equivalent:,等價,18,(4),對一方陣而言，元素,a,11,a,22,a,nn,稱為,主對角線,(,main diagonal),的元素,1.2,高斯消去法與高斯,-,喬登消去法,m,n,矩陣,(,matrix),(3),若 ，則此矩陣稱為,n,階方陣,(,square of order,n,),注意：,(1),矩陣中的每一個,元素,(,entry),a,ij,是一個數,(2)一,m,列,n,行的矩陣的,大小,(,size),為,m,n,19,範例,1,：,矩陣 大小,注意,：,矩陣最常用的方式是用來表示線性方程式系統,20,m,個方程式,n,個變數的線性方程式系統,以矩陣方式表示為,21,增廣矩陣,(,augmented matrix),係數矩陣,(,coefficient matrix),22,三個基本列運算,(,elementary row operation),(1),兩列互換,(2),一列乘上一非零常數,(3),一列的倍數加到另一列,列等價,(,row equivalent),若一矩陣可由另一矩陣的一些基本列運算來獲得，則此兩個矩陣稱為,列等價,23,範例,2：(,基本列運算,),24,列梯形形式,(,row-echelon form),(1),全部為零的列在矩陣最底下,(2),不全為零的列，其第一個非零元素為,1,，稱為,領先,1,(,leading 1),(3),對兩相鄰的非零列而言，較高列之領先,1,出現在較低列之領先,1,的左邊,列簡梯形形式,(,reduced row-echelon form),(1)(3),同上,(4),在領先,1,的那一行除了領先,1,以外的位置全部為零,25,範例,4,：判斷下列矩陣為列梯形形式或列簡梯形形式,26,高斯消去法,(,Gaussian elimination),將矩陣化簡為列梯形形式的程序,高斯,-,喬登消去法,(,Gauss-Jordan elimination),將矩陣化簡為列簡梯形形式的程序,注意：,(1),每個矩陣只有一個列簡梯形形式,(2),每個矩陣可以有很多種列梯形形式,(,不同的列運算,會產生不同的列梯形形式,),27,最左邊的非零行,產生,leading 1,讓在,leading 1,下的元素為,0,leading 1,產生,leading 1,最左邊的非零行,範例：高斯消去法與高斯喬登消去法之步驟說明,子矩陣,28,讓在,leading 1,下的元素為,0,讓,leading 1,以外的其他位置為,0,leading 1,最左邊的非零行,產生,leading 1,leading 1,子矩陣,29,範例,7,：用高斯,-,喬登消去法求解線性方程式系統,(,唯一解,),解：,30,範例,8,：求解線性方程式系統,(,無限多組解,),解：,31,令,所以此系統有無限多組解,32,線性方程式的齊次系統,(,homogeneous system),若一線性方程系統的常數項均為零時，,則此系統為,齊次系統,33,顯然解,(,trivial solution),非顯然解,(,nontrivial solution),顯然解之外的其他解,注意：,(1),所有的齊次系統均為一致性,(,consistent),系統,(2),若系統的方程式比變數少，則有無限多組解,(3),對於一個齊次系統來說，下列有一為真,(,a,),系統只有一個顯然解,(,b,),系統除了顯然解外還有無限多組解,(,任意,n,變數齊次系統的解,),34,範例,9,：求解下列的齊次線性方程式系統,解：,令,35,摘要與復習,(1.2,節之關鍵詞,),matrix:,矩陣,row:,列,column:,行,entry:,元素,size:,大小,square matrix:,方陣,order:,階,main diagonal:,主對角線,augmented matrix:,增廣矩陣,coefficient matrix:,係數矩陣,36,elementary row operation:,基本列運算,row equivalent:,列等價,row-echelon form:,列梯形形式,reduced row-echelon form:,列簡梯形形式,leading 1:,領先,1,Gaussian elimination:,高斯消去法,Gauss-Jordan elimination:,高斯,-,喬登消去法,free variable:,自由變數,homogeneous system:,齊次系統,trivial solution:,顯然解,nontrivial solution:,非顯然解,37,