第二十六章 量子力学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二十六章 量子力学,海森堡,玻尔,玻恩,薛定谔,本章,教学要求：,理解氢原子光谱的实验规律及玻尔的氢原子理论。,了解波函数及其统计解释。,理解一维定态薛定谔方程。,了解如何用驻波观点说明能量量子化，了解角动量,量子化及空间量子化。,了解施特恩盖拉赫实验及微观粒子的自旋。,了解描述原子中电子运动状态的四个量子数。,了解泡利不相容原理和原子的电子壳层结构。,本章重点：,氢原子理论，波函数及其统计解释，能量量子化，角动量量子化及空间量子化。微观粒子的自旋。,本章难点：,薛定谔方程。波函数及其统计解释,内容,26.1,玻尔氢原子理论,26.3,量子力学的基本框架,26.4,原子的壳层结构,26.1.1,原子的结构问题,26.1.2,玻尔氢原子理论,26.3.1,波函数及其统计解释,26.3.2,量子力学的基本假设,26.3.3,量子力学解实际问题,26.1,玻尔氢原子理论,26.1.1,原子的结构问题,氢原子光谱,656.21,486.07,434.01,410.12,364.56,nm,如将上式中的“,2,2,”,换成其它整数,k,的平方,还可得到其它谱线系,.,巴尔末公式,原子结构模型,均匀分布正电荷,1897,年，,J.J.,汤姆孙发现电子（带负电）,原子是电中性的，由于原子内有电子，原子内一定存在带正电的部分。,卢瑟福为证明老师的原子模型，建议盖革与马斯登作散射实验。,粒子是二次电离的氦原子，他们以,1/15,倍光速运动。,均匀分布正电荷,经典理论的困难,原子不断向外辐射能量，能量,逐渐,减小，电子旋转的频率也逐渐改变，发射光谱应是,连续谱,；,由于原子总能量减小，电子将逐渐的接近原子核而后相遇，原子不稳定,.,26.1.2,玻尔的氢原子理论,三个假设,定态假设,原子的稳定性,电子在原子中可以在一些特定的圆轨道上运动而不辐射电磁波，这时，原子处于稳定状态，简称,定态,.,与定态相应的能量分别为,E,1,，,E,2,，,E,1,E,2,E,3,+,E,1,E,3,频率条件,光量子理论,量子化条件,德布罗意波形成驻波,E,f,E,i,发射,吸收,主,量子数,轨道半径与能量,+,r,n,经典力学：,量子化条件：,玻尔半径,第,轨道电子总能量：,(,电离能,),基态,能量,激发态,能量,氢原子能级跃迁与光谱图,莱曼系,巴耳末系,布拉开系,帕邢系,-,13.6,eV,-,3.40,eV,-,1.51,eV,-,0.85,eV,-,0.54,eV,0,n,=1,n,=2,n,=3,n,=4,n,=5,n,=,说明,玻尔理论的成功与局限,成功,：解释 了,H,光谱，尔后有人推广到类,H,原子,（ ）也获得成功（只要将电量换成,Ze,）,（,Z,为原序数）。他的定态跃迁的思想至今仍是正确的。并且它是导致新理论的跳板。,局限：,1,、理论不严密，自相矛盾（把经典理论与非经典理论混杂起来）,2,、只能解释,H,及类,H,原子的谱线波长，不能解释各谱线的相对强度及禁戒跃迁，也解释不了原子的精细结构。,3,、仅对单电子原子成功，对两个电子的中性原子的处理糟糕透了。,原因：,它是半经典半量子理论的产物。还应用了 经典物理的轨道和坐标的概念,因此，玻耳理论称为,旧量子论,它是经典理论与量子理论之间的一座桥梁,1924,年德布罗意（,De Broglie,）,提出了波粒二,象性，尔后由薛定谔（,S c h rd i n g e r,）,与海森堡（,Heisenberg,）,等建立了量子力学。,o,玻尔,(NBohr),其人,：,卢瑟福的学生，在其影响下具有严谨的科学态度，勤奋好学，平易近人，后来很多的科学家都有纷纷来到他身边工作。当有人问他，为什么能吸引那么多科学家来到他身边工作时，他回答说：,“因为我不怕在青年面前暴露自已的愚蠢”,。,这种坦率和实事求是的态度是使当时他领导的哥本哈根理论研究所永远充满活力，兴旺发达的原因。,爱因斯坦评价说：,“作为一个科学的思想家玻尔具有那么惊人的吸引力；在于他具有大胆和谦逊两种品德难得的结合”,1947,年丹麦女皇授予玻尔,“,宝象勋章,”,，玻尔亲自设计了以中国阴阳图（太极图）为图案的族徽，铭文是,contraria,sunt,complementa,(,互斥即互补,),-0.85ev,-13.6ev,26.2,量子力学的基本框架,量子力学的发展道路,物理量的量子化与可观测性,氢原子能级理论（玻尔,1913,）,对应原理（玻尔,1923,）,矩阵力学（玻恩，海森堡,1925,）,物质波,光量子假说（爱因斯坦,1905,）,波粒二象性（德布罗意,1923,）,波动方程（薛定谔,1926,）,矩阵力学与波动方程是等价的,26.3.1,波函数及其统计解释,经典力学的困难,德布罗意物质波提出后，由于微观粒子具有波粒二象性，其位置和动量不能同时确定，所以无法用经典力学描述,波函数,应该有一个可以描述粒子运动的函数，称之为波函数,问题,波函数的形式及其满足的方程,波函数如何描述粒子的运动,薛定谔方程,经典的波与波函数,电磁波,机械波,经典波为,实,函数,猜想,自由,粒子的能量和动量是,确定,的，根据不确定原理 ，粒子在,x,方向上的位置,完全不,确定，其德布罗意频率和波长不变 ，可认为是一,平面,单色波,.,波列,无限长，,取,x,的二阶偏导数和,t,的一阶,偏导数得,自由粒子,一维运动,自由粒子,的,含时薛定谔方程,粒子在势能为 的势场中运动,一维,运动粒子,的含时,薛定谔方程,势能 与动能 应处于同样的地位,粒子在,恒定势场,中的运动,在,势场,中,一维,运动粒子的,定态,薛定谔方程,若 与时间无关，则,波函数的物理意义,因积分发散，自由粒子的波函数不能用上述的方式归一。,26.3.2,量子力学的基本假设,基本假设,1,：微观粒子的运动状态用波函数 描述， 表示几率密度，即粒子在时刻 位置 处单位体积内出现的概率。相差一个因子的波函数描述同一个态。,微观运动只能用概率描述,基本假设,2,：波函数的演化满足薛定谔方程,根据德布罗意的物质波理论,对应电磁理论，自由粒子平面波函数为,容易看出,而,因此 满足,经典力学中动能与势能有同样的地位,，,猜想势能取最简单形式，就得到薛定谔方程,基本假设,3,：经典力学中任一物理量,对应一个厄密算符,，,的本征值,为该物理量可以测得的测量值,厄密算符的性质,本征值为实数,本征函数之间正交归一，即若,则,物理量只能取分立的本征值,基本假设,4,：量子力学中所有力学量的本征函数都具有完备性，即粒子的波函数一定可以表示为,物理量平均值的计算,表示,时刻粒子处于本征态,上的几率，因此,时刻力学量,的平均值为,设,粒子的质量为,m,其势能函数为,:,26.3.2,量子力学解实际问题,根据边界条件，有：,也就是说，当粒子处于无限深势阱中时，只有当能量,E,满足上式，取离散值,E,n,时，相应的波函数,n,(x,),才满足边界条件，才是物理上可接受的。,所以，本征能量（本征值）为：,n=1,2,3,.,概率密度为：,讨论,状态,本征能量,本征函数,概率密度,波函数图,概率密度图,一维方,势垒势能函数如图,粒子沿 方向运动,当 粒子可以通过势垒。,当 ，根据经典理论，粒子不可能出现在,区和,区，但,实验证明粒子也能通过势垒,粒子以一定的概率通过,区到达,区,这只能由量子力学得到解释。,一维方势垒 隧道效应,设三个区域的波函数分别为,在各,区域薛定谔方程分别为,令,为实数,粒子的能量,解,为：,从左方入射的粒子，在各区域内的波函数图,隧道效应，,各区域内的波函数图,贯穿势垒的概率定义为在 处透射波的强度与入射波的强度之比：,贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。,粒子的总能量虽,不,足以超越势垒,但在势垒中似乎有一个隧道,能使少量粒子穿过势垒而进入,的区域,所以人们形象地称之为,隧道效应,.,隧道效应的本质,:,来源于微观粒子的波粒二相性,.,1981,年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成了扫描遂穿显微镜,(,STM,),可观测固体表面原子排列的状况,.,1986,年宾尼希又研制了原子力显微镜,.1986,年，诺贝尔物理学奖的一半授予宾尼希和罗雷尔，另一半授予电子显微镜的发明者鲁斯卡。,应用,扫描隧道显微镜,(STM),原理：,利用电子的隧道效应。,金属表面存在势垒，由于隧道效应，电子有一定的概率出现在表面外，电子的概率密度随着与表面距离的增大呈指数形式衰减。将原子线度的极细的金属探针靠近样品，针尖和,金属表面作,为两个电极，并在它们之间加上微小的电压，其间就存在隧道电流，隧道电流对针尖与表面的距离极其敏感，其关系式为：,扫描隧道显微镜,(STM),其中，,I,是隧道电流，,是样品表面势垒的高度，,s,是针尖与样品表面之间的距离。,当针尖在被测表面上方恒定高度扫描时，即使固体表面仅有原子尺度的起伏，隧道电流会有超出,10,倍的变化。,将针尖装在压电陶瓷上，控制陶瓷上的电压以保持,隧道电流恒定，针尖在扫描时随样品表面起伏上下移动，此时陶瓷上电压的变化就反映出样品表面的起伏。,48,个,F,e,原子形成,“,量子围栏,”,，,围栏中的电子形成驻波。,STM,的横向分辨率已达 ，纵向分辨达,STM,的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子,在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。,氢原子问题的量子力学处理,量子化条件和量子数,n,=1,2,3,.,为,主量子数,求解上述方程时可得以下一些量子数及量子化,特,性,1,能量,量子化和主量子数,与玻尔理论一致,2,角动量,量子化和角量子数,电子绕核运动时的角动量为：,为,角量子数,例如，,n,=2,时，,=,0,，,1,相应的,当氢原子置于外磁场中，角动量,L,在空间取向只能取一些,特,定的方向,，,L,在外磁场方向的投影必须满足量子化条件,3,角动量,空间量子化,和磁量子数,磁量子数,磁量子数,m,l,=0,1,相应的,例如， 时，,z,o,L,z,Z,L,反常塞曼效应，碱金属光谱精细结构,1924,年泡利发现应该有第四个量子数，,1925,年初克罗尼格意识到电子自旋,1925,年乌伦贝克和高斯密特正式提出电子自旋假说,“你们还年轻，干点蠢事也没关系”,电子具有自旋运动及具有自旋磁矩是电子的基本属性,4,电子的,自旋,和自旋磁量子数,自旋角动量在外磁场方向上只有两个分量,:,自旋角动量,m,s,称为,自旋磁量子数,式中自旋量子数,，,即,S,z,S,电子的,自旋,角动量和,自旋磁量子数,o,z,S,z,小结,原子中的电子的运动状态可由四个量子数,(,n,l,m,l,m,s,),来表示,.,角,量子数,l,决定电子的轨道角动量,磁,量子数,m,l,决定轨道角动量的方向,自旋,量子数,m,s,决定自旋角动量的方向,主,量子数,n,决定电子的能量,基态径向波函数和电子分布概率,1,氢原子的,基态能量,处于基态时,n,= 1,l,= 0,径向,波函数,方程,解为,其中,将解代入,方程,得,令,沿,径矢的概率密度为,p,则电子出现在距核,r,r+,d,r,的概率为,2,基态径向,波函数,电子出现在体积元,d,V,的概率为：,由,归一化条件,得,基态径向,波函数,为,p,(,r,),o,r,3,电子的分布概率,r,1,r,1,电子云,26.4,原子的壳层结构,四个量子数,原子壳层结构,例：在气体放电管中，用能量为,12.1ev,电子去轰击处于基态的氢原子,此时氢原子所能发射的光子的能量只能是,:,(A)12.1ev,(B)10.2ev,(C)12.1ev,10.2ev,1.9ev,(D) 12.1ev,10.2ev,3.4ev,答案,：（,C,）,例：下列四组量子数,其中可以描述原子中电子状态的,（,A,）,只有（,1,）和（,3,）,（,B,）,只有（,2,）和（,4,）,（,C,）,只有（,1,）、（,3,）、（,4,）,（,D,）,只有（,2,）、（,3,）、（,4,）,答案,：（,C,）,例,.,根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩,(,角动量,),为,，当主量子数,n=3,时,电子动量矩的可能值为,答案：,例：根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩（角动量）在外磁场方向的投影为,当角量子数,=2,时,电子动量矩（角动量）在外磁场方向的投影的可能值为,答案：,