山东科技大学离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,离 散 数 学,Discrete Mathematics,曾庆田,Email:qtzeng,山东科技大学,信息科学与工程学院,恃邻依瓶菏滤籍庚碉颊滇昂市婪瘁锅廷耳宿跟瞬畔措有盅荤砌笼冒至钥钢山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,直摹旺陈功袁锋邀摔简腥垫爷鸿银症绚侯脱硒撤香蛔挡铝术墒显标底死木山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,臭化摸覆荒现墒潞癌谎酣科逛消景鸿屯膳稽送聪裙识载俭瀑饼病聂蚤腹蝎山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,储询笑驻宽块芦廷写晌绒嚏累忧缠厚氏缔黎瞎右付腔牌鄂帧壤耐花筒分咨山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,调课,8、9、10周四晚上7：30-9：30,教室：S1-119,庞滁吱去琅迁廖董澄喊趾沽总纠柏晨喷甩分困击嵌腿绊载粹柬煤荤谆秃邦山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,上次课内容回顾,集合的概念,集合的关系,特殊的集合：空集、全集、幂集,集合的运算：,交、并、补/差、绝对补、对称差,包含排斥原理,包含排斥原理,定理3-3.1：设A1，A2为有限集合，其元素个数分别为|A1|，|A2|，则|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|，此定理被称作包含排斥原理。,哀阁抬芋噎阴航风瞒腐曝勘仿依吵杨霸队娇娟伺计浆押陇坍胡蒙摔寺刚相山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,3-4 序偶与笛卡尔积,嗽素哲蘸臭咳脑忧遏加王蹋亥收凝铂农令话子眷亨遣戮乓扇率噪堰剪帜惟山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,1、序偶(有序2元组)：,两个具有固定次序的客体组成一个序偶(有序2元组)，记作，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。,一、有序n元组,奸履汞擦韩惊蚂粱腑衬初电忙伍告产茁居蛮景橙吃骤枉芜藻颤忧摄圆澜狄山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,例：平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序序偶，我们可用表示。,注：序偶是讲究次序的。,例和表示平面上两个不同的点，这与集合不同，1，3和3，1是两个相等的集合。,2、定义3-4.1：,两个序偶相等，=，当且仅当x=u且y=v。,一、有序n元组,汽卓拐闰透输挨灭若橱方捆囚问冻醋谣固峙流钵市碱惕唁赂坷泛坯卫邪淘山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,3、有序元组：,是一个序偶，其第一元素本身也是一个序偶，表示为，z或。,4、有序n元组：,有序n元组也是一个序偶，其第一元素是一个n-1元组。 ，x,n,，通常简记为：，其中x,i,称作它的第i坐标，i=1，2，n。, =的充要条件是x,i,=y,i,，i=1，2，n。,序偶其元素可以分别属于不同的集合，因此任给两个集合A和B，我们可以定义一种序偶的集合。,鸦忧处础予恩桑哩橇饼据施掇周勋渠帛芽沪竿儡陪湖殿狗价捐筒呻顾澄蛾山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,1、定义3-4.2：,设A和B是任意两个集合，由A中元素作第一元素，B中元素作第二元素构成序偶，所有这样序偶的集合称集合A和B的笛卡尔积或直积。记作A,B,。,即,A,B=|x,A,yB,二、笛卡尔积,侗椅帆弦嫡其代邪寞抠悬杉肋诵虚盔络弄颠涩麻秒罚赤专狰痴殖胖惭阑堂山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,仟昧炽么亲样规防秋璃惺酵鸯檬客栏套境佳叉如巴兴馋稗步狙巩微暮工歇山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,遁孤冷别幕担吗磁洽匿兴仰侠普乾瘫箔仍箱汉豹另砾袜锣掌牺佩侠僻低耗山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,2、n个集合的笛卡尔积：集合A,1,，A,2,，A,n,，则,特别地，,约定：若A=或B=，则A B= ，B A=,产卧判刑标切颤彪窘演旨建滑假拳听赏兑户册夺详私辐娇庙苞胯柔荷返阴山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,例题,若A=,，,，B=1，2，3，求A,B， BA，,A,A， BB以及(,A,B)(BA)。,解：,A,B=， ,BA=，,A,A=，,B,B=，,，,(,A,B)(BA)=,若A、B均是有限集，|A|=m，|B|=n，则|A,B|=mn。,氮尹希佣帘椰树烷俘巧腕费饮预色歹惊径皱猪讯械忙熔俘俄苹泄月达答抢山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,三、笛卡尔积的性质,1、对于任意集合A，A,=， A=,。,2、笛卡尔积运算不满足交换律，当A,，B，AB,时A,B,BA,。,3、笛卡尔积运算不满足结合律，即当A，B，C均非空时(A,B)CA(BC),。,医寝矣信漏流村歧乾触跌皿烈焉洛衷猖殖滔堰纤纷缓络忽锈炙柳雁噶膛斟山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,4、定理3-4.1：对任意三个集合A、B、C，有,(1)A,(B,C)=(A,B),(A,C),(2)A,(B,C)=(A,B),(A,C),(3)(B,C),A=(B,A),(C,A),(4)(B,C),A=(B,A),(C,A),由以上两条有：A(BC)(AB)(AC),证明两个集合相等，可以证明它们互相包含。,则aA，bBC，即aA，bB，且bc，,证明：(2)A(BC)，,即AB且AC，,有(AB)(AC)，得A(BC)(AB)(AC),(AB)(AC)，,则AB且AC，,则aA，bB，且aA，bC，则bBC。,所以A(BC)，所以(AB)(AC)A(BC),呆椰蚊暴惶衡熙前博墩院琴皮劲合峙潘虑懒尊义老锋而单悔该佯桓棋注须山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,5、定理3-4.2：对于任意集合A、B、C，若C,，则,A,B,A,C,B,C,C,A,C,B,证明：设,A,C,B,C,。,x,A，因C,，任取y,C ，有,A,C,因为A,C,B,C，所以,B,C所以x,B，所以,A,B,设,A,B,。,A,C，则x,A，y,C，又因A,B，所以x,B，所以,B,C，所以,A,C,B,C,同样，定理的第二部分AB CACB可以类似地证明。,捏督涟弯春吮药李疑佣噶动融窗瞎玉咱捉乞命甲您宿壮彦抑蒂前獭孙弊震山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,6、定理3-4.3：对任意四个非空集合，A,B,C,D的充分必要条件是A,C，B,D。,证明：充分性。设A,C，B,D。,由定理3-4.2，因B,D，A,，所以A,B,A,D。又A,C，D非空，所以A,D,C,D，所以A,B,C,D。,必要性。设 A,B,C,D。,x,A，y,B，所以,A,B，又因A,B,C,D，所以,C,D，所以x,C，y,D，所以A,C，B,D,证明定理3-4.3用到集合包含的传递性： (AB)(BC) (AC),绢悍畅湖睁咱训曼撒渐坷叹憋戎忿斟蛇岂挎寸抿榷庶较陪腑刽陇贷负冕屑山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,105页（2）,设A=a，b，构成集合,(A),A。,解,(A) =,，,a， b，a，b,(A),A=， , , , ,撞装哨求凶埔滔搔默蔽岭描赣稳硼弘怖雇庄痒戳竭鉴节集蚊士也痰肢野晋山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,3-5 关系及其表示,兄弟关系,师生关系,朋友关系,恋人关系,大于关系,敢碳止嘉让饮狄恶洒贺课撅浅卵梭蹦贮蛔迟配疙荡蓖腰蔼威臂峰扼涕须湘山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,一、关系（Relation）,1、关系,定义3-5.1：,任一序偶的集合,确定了一个二元关系R，,R,记作aRb，称a与b有关系，,R,记作aRb，称a与b没有关系。,例如，=|x，y是实数且xy,说明：,(1)把关系R这种无形的联系用集合这种“有形”的实体来描述，为今后的描述和论证带来方便。,(2)序偶是讲究次序的，如果有,R,未必有,R,，即a与b有关系R，未必b与a有关系R。,例：甲与乙有父子关系，但乙与甲没有父子关系。,酵装棺巍空控蒋溪疚馁单搅险赖予匀鼻又眠腿藉任关竣弛揽徊腔缔苦墩篡山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,2、前域、值域,定义3-5.2：二元关系R中，,所有序偶的第一元素的集合dom R称为R的前域，即：,dom R=x|(,y,),R,所有序偶的第二元素的集合ran R称为R的值域，即：,ran R=y|(,x,),R,。,R的前域和值域一起称作的域，记作FLD R。即：,FLD R=dom R,ran R,坟惯尽哀吴娄馏誓握厘廓映蕉两半淖睁坏古泞升胚膊挑江倪泉栓蹋江其颤山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,2、前域、值域,例题1 设H=，求dom H，ran H， FLD H。,解：,dom H=1，2，3，,ran H=2，4，,FLD H=1，2，3，4,生迄坏肉通喝琉闯菲祷截碉胸李户宏赛鸦笔万奏浅员呀票瞄溜沪袖瘁想类山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,3、X到Y的关系,定义3-5.3：令X和Y是任意两个集合，X,Y,的子集R称作X到Y的关系。,如果R是X到Y的关系，则dom R,X，ran RY,。,严刑绊舵矢卉谤攒维华莆介剃戮讥吵货旧灸兼扮幢泡彬形锗木戳丹蔚今累山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,3、X到Y的关系,例题2 设X=1，2，3，4，求X上的关系,及dom,，ran,。,解：,=，,dom,=2，3，4，,ran,=1，2，3,敷狄撬睹扒成频诞旁煮火诛傅某睬瘤哉貌脖减织傻案奈硬龋尾汤越济怔稼山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,4、特殊的关系,(1)全域关系：对于集合X和Y，称X,Y为X到Y的全域关系。记作,U,。,称为空关系。,(2)二元关系：R是X,X,的子集，称R是X上的二元关系,(3)恒等关系：I,x,称为X上的恒等关系iff I,x,=|x,X,藩将葡耗杏愁勘功唾娘辞她希焕权刊轿兹鉴痪冈尹富蛀锈面咀拈亮荚给捂山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,例题3 若H=f，m，s，d表示一个家庭中的父、母、子、女四个人的集合，确定H上的全域关系和空关系，另外再确定H上的一个关系，指出该关系的值域和前域。,解：,设H上的同一家庭成员的关系为H1，H上的互不相识的关系为H2，则：H1为全域关系，H2为空关系；,设H上的长幼关系为H3 ， H3=，dom H3=f，m，ran H3=s，d,爹悯逢雾汲戎柒窝部啮冗乡椎胞如椿汐鸦效希者涟著稿请敏礼滴靛扎坞氛山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,解：H=，,，,S=,H,S=，,，,H,S=,XX=，,，,，,H=，,，,S-H=,例题4 设X=1，2，3，4，若H=|(x-y)/2是整数，S=|(x-y)/3是正整数，求HS，HS， H，S-H。,晨仙彝獭畔柱管膝凹绢旱银卓掸叼函皿草蛾耀惩决映貉阵瘴烂或吗烈捷裔山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,5、定理3-5.1：若Z和S是集合X到Y的两个关系，则Z和S的并、交、补、差仍是到的关系。,鬼侣飘佣凉碗饮彪驰岛蚤瞳浅方嚼问冗狮王侦奏舶认跋修龄淖贤沉蚊重营山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,关系的表示方法,集合法,关系矩阵,关系图,眉冻稽渤世徊讨锚封泥应榨映芭底雅漾丝检革欠北毁涡堰豆炒溉经缉粥博山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,二、关系的表示,1、集合,为直观地表示A到B的关系,采用如下的图示:,用大圆圈表示集合A和B,里面的小圆圈表示集合中的元素;,若aA,bB,且(a,b),则在图示中将表示a和b的小圆圈用直线或弧线连接起来,并加上从结点a到结点b方向的箭头。,悯鹃影吓眠侈拌位料磐雷稼凸植毛吟氟四过舌雨稳翟蕾兢释地缩如佰肛幽山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,例 设A1,2,3,4,5,Ba,b,c,则1(1,a),(1,b),(2,b),(3,a)是A到B的关系,而2(a,2),(c,4),(c,5)是B到A的关系。,其集合表示法如下：,邪莽材彼荫芹恤贸衣刑屡县弘衔帧录悠塞擦毗壮群哎充侯勿紊匀爵匣钦民山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,2、关系矩阵：,设给定两个有限集合X=x,1,，x,2,，x,m,， Y=y,1,，y,2,，y,n,，R是X到Y的关系，则R的关系矩阵M,R，,其中r,ij,m,n,，,r,ij,=1，当,R,，,r,ij,=0，当,R,。,考颓阂笛蓄酶涎嵌帅巩观奶虏遣乒廊嚏鱼监铃烁柄粥绅恢且铰辱虾诈怔终山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,其关系矩阵表示为：,例 设A1,2,3,4,5,Ba,b,c,则1(1,a),(1,b),(2,b),(3,a)是A到B的关系,而2(a,2),(c,4),(c,5)是B到A的关系。,捆牛审寓刃慢侵渺喷育梭陈惮栅吐墟煌碰帝盖收灶攒兜袭疟颤矣直有烛缓山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,关系矩阵的写法也可以简化, 当约定了元素的次序后, 可以不写最左列和最上行的元素。 如,蹄爽必树磐浆赘孪咒嘿雄司取整豌码卉挡榨凡蜜韶疏柒唐哦揉篓蹦蘑梳奉山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,关于关系矩阵的几点说明：,(1)空关系的关系矩阵的所有元素为0。,(2)全关系的关系矩阵的所有元素为1。,(3)恒等关系的关系矩阵的所有对角元为1，非对角元为0，此矩阵为单位矩阵。,(4),如果R是X上的二元关系时，则其关系矩阵是一个方阵。,坝蚜岛砌浓闯砖署粮豪抖焚伐墩虐烹另谦缘剖衍桃乒殆锑魄硫赎径订逮柯山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,例题5 设X=x,1,x,2,x,3,x,4,Y=y,1,y,2,y,3,R=, , , , , ，写出关系矩阵M,R。,例题6 设A=1,2,3,4，写出集合A上大于关系的关系矩阵。,P108 例题,趴伟脑远隧靡胚兵盏疡乾局惦吴蔡今毫指鸣腊瘟疼经衡范遏笛稳执颁系兜山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,3、关系图：,设有限集合X=x,1,，x,2,，x,m,， Y=y,1,，y,2,，y,n,，X到Y的一个关系为R，则R的关系图：,(1)做出m个结点分别记作x,1,，x,2,，x,m,， n个结点分别记作y,1,，y,2,，y,n,，,(2)如果,R,，则可自结点x,i,至y,j,作一有向弧;,(3)如果,R,，则x,i,至y,j,没有线段联结。,密翰穗痢朽锤厘贰纽念际替窃换遭居缎垫咬捌袭惩姥岸啊锋塘裕沼拳陌倡山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,例 设,A,-2, -1, 0, 1,写出,A,上的关系、 关系、 关系、,U,A,和,I,A,并分别写出这些关系的定义域和值域（这里、 、,分别表示通常的小于、 小于等于和大于）。,并画出关系图。,解,(-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-1, 0), (-1, 1), (0, 1),Dom-2, -1, 0 Ran-1, 0, 1,(-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-1, -1), (-1, 0),(-1, 1), (0, 0), (0, 1), (1, 1),DomA RanA,贾初撬低搏卑痉鸡纽瑚能蓄全锌麦榆颤娥莲芍意速煎殊冈撬影青胃继身氨山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,(-1, -2), (0, -1), (0, -2), (1, -2), (1, -1), (1, 0),Dom,-1, 0, 1,Ran,-2, -1, 0,U,A,(-2, -2), (-2, -1), (-2,0), (-2,1), (-1,-2), (-1,-1),(-1, 0), (-1, 1), (0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1),(1, -2), (1, -1), (1, 0), (1, 1),I,A,(-2, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1),Dom,U,A,Ran,U,A,Dom,I,A,Ran,I,A,A,盖磁参缮棱差斩膨莲戴簧亡课潮斜榨诵觉苫儒园背撮鸵蜕耙霜噪食柏克榷山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,图 2 例题 用图,微凳臆拱门矮坑雄握履镀阶茸干护教祈俩杉霜否本措喇磕扬锥裁手押理铀山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,例题7 设X=x,1,x,2,x,3,x,4,Y=y,1,y,2,y,3,R=, , , , , ，画出R的关系图。,例题8 设A=1,2,3,4,5，在A上的二元关系R给定为：,R=,画出R的关系图。,P109 例题,庇浦翠咨勇方荆蚂法滨沸戮艇捆虑嗣肿赫诡编磕哲遍败常晨淆河卜绚圾巴山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,如果A=|m|, |B|=n, 则：|A,B|=mn,，,关系是A,B,的子集，,A,B,的子集共有2,m,n,个，所以，X到Y的关系共有2,m,n,个。,X到Y有多少个不同的关系？,暑诫析坡甭念骑糊碴稚济驱煎谩剥克咎值恋硬洛喝檬址逐孜种都孤拢勒茎山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,可定义n元关系。若S,A,i,，则称S为 A,i,上,的n元关系。特别A,1,=A,2,=A,n,时，称S为A上的n元关系。,n元关系:二元关系的推广,枝联姚硼躁重嘲皿胃悲膀渺监拽宛熙慷律罪况滑炔日阀邑罕某豹妻喜餐处山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,作业,P105:,单号：(3)b,d (4)(5),双号：(3)c,e (4)(5),P110: (5)a,b,d (6)(7)(8),睬川脉泄硒贿匈箱斤仔牙英涅澡辈坞赫迷兽买逸汁舜龋圆抑悔隋抹切爪棺山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,第二章 习题课,断扛捶侧经顺捐郊襟疡匠棉诣敝产译滥植新葬幢钒招剧渭东该糊版苛废热山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,P72 （4）求证：,(x)(A(x),B(x),(x)A(x),(x),B(x),右边=(x)A(x),(x),B(x),(x)A(x),(x),B(x),(x),A(x),(x),B(x),(x) (,A(x),B(x),(x)(A(x),B(x),呼晓挟谬织童捉堂兰嘘翔匹待阀种蜜崎豫搪遮斜掸瑟邹阿睁暑上兼翌制芭山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,（7）求证：,(x) (y)(P(x),Q(y),),(x)P(x),(y)Q,(y),右边,(x)P(x),(y)Q,(y),(x)P(x),(y),Q(y),(x),P(x),(y),Q(y),(x) (y)(,P(x),Q(y),(x) (y)(P(x),Q(y),),诗嵌肋丧酱众刃溃淄产勺昼登妄矛是惰垦溺郝矿铺尧屿金刑睛惟讹场辙拼山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,P75 (1) 化为前束范式,(x),(,(,(,y)P(x,y),),(,(,z)Q(z),R(x),),),(x),(,(,(,y)P(x,y),),(,(,z)Q(z),R(x),),),(x),(,(,(,y)P(x,y),),(,(,z),Q(z),R(x),),),(x),(,y),(,z),(,P(x,y),(,Q(z),R(x),),),浦埋呆母糕氰拔蝇砒瘦汲勃敖踞屎冷悸曰脾耸阶罐摸赤整隆蚌月牧异蓬弃山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,(2)求前束合取范式,b) (x),(,P(x),(y),(,(z),Q(x,y),(z)R(y,x),),),(x),(,P(x),(y),(,Q(x,y),R(y,x),),),(,消去多余量词）,(x),(,P(x),(y),(,Q(x,y),R(y,x),),),(x)(y),(,P(x),(,Q(x,y),R(y,x),),),(x)(y),(,P(x),Q(x,y),R(y,x),),前束合取范式,或凛期蒲沟间制伞羔弯腥糖抡系遏匝凹沮剖纯窥坞炔阔甜丘绸凋叮发牙搅山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,(2)求前束合取范式,b) (x),(,P(x),(y),(,(z),Q(x,y),(z)R(y,x),),),(x)(y),(,P(x),Q(x,y),R(y,x),),(x)(y),(,P(x),Q(x,y),R(y,x),),(,P(x),P(x),),(x)(y)(,P(x),P(x),(,P(x),P(x),),(,Q(x,y),P(x),(,Q(x,y),P(x),),(,R(y,x),P(x),(,R(y,x),P(x),),(x)(y)(,P(x),P(x),(,Q(x,y),P(x),(,Q(x,y),P(x),),(,R(y,x),P(x),(,R(y,x),P(x),),前束析取范式,茧踢雹陵侨拣树泄多镁鸡廉敌乱供忙热庙洛斥离恨偶付锅野眩狈局叛器畔山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,(2)求前束合取范式,c) (x)P(x),(x),(,(z),Q(x,z),(z)R(x,y,z),),(x)P(x),(x),(,(z),Q(x,z),(z)R(x,y,z),),(x),P(x),(x),(,(z),Q(x,z),(z)R(x,y,z),),(x),(,P(x),(z),Q(x,z),(,u,)R(x,y,u,),),(x)(z)(,u,),(,P(x),Q(x,z),R(x,y,u,),),前束合取范式,展苟窿先庆匝详丘欢唤咐缸糠迈刚滴归图昌戏凳皮囱林粥咐确贺鞭殉鹏袱山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,(2)求前束合取范式,c) (x)P(x),(x),(,(z),Q(x,z),(z)R(x,y,z),),(x)(z)(,u,),(,P(x),Q(x,z),R(x,y,u,),),(x)(z)(,u,),(,P(x),Q(x,z),R(x,y,u,),),(,P(x),P(x),),。,前束析取范式,噬海簿暇力蛾伪买萧找届尧沫浩地谈褂苦谷倪遇诱参羊俘擂轴损乒镍财佛山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,P79 (1)证明,b) (x)A(x),(x)B(x)(x)(A(x),B(x),(x)(A(x),B(x) 附件前提,(x),(,A(x),B(x)T(1)E,(x) (A(x),B(x)T(2)E,A(a),B(a)T(3)E,A(a)T(4)I,B(a) T(4)I,(x)A(x)T(4) EG,(x)A(x),(x)B(x)P,(x)B(x)T(7)(8)I,B(a)T(9) US,B(a),B(a)T(6)(10)矛盾,诀贫想饶竟缮越闸寂腐乏辉延逮宰认苔腐召财荆汇惫蘸枷蛇罚始散抗僳码山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,P79 (1)证明,d) (x)(A(x),B(x), (x)(B(x),C,(x), (x)C(x) (x)A(x),(x)A(x) 附加前提,(x),A(x)T(1)E,A(a),T(2)ES,C(a),C,(a)T(6)(10)矛盾,石恬酬炽检席巫淖秋似著坚亏啮疙替葡濒农芬厉灸剐摩捻署乍彦眩卤罕眯山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,P79 (2)用CP规则证明,a) (x)(P(x),Q(x),) (x)P(x),(x),Q(x),(x)P(x) 附件前提,P(u)T(1)US,(x)(P(x),Q(x),) P,P(u),Q(u),T(3)US,Q(u),T(2)(4)I,(x),Q(x),T(5)UG,偿腔炮毙石驻趋刘刻榔扼舷示币散憾琉怀苑孽席冯搽调钦享溪敬躬鹊蒲逸山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,P79 (2)用CP规则证明,b) (x)(P(x),Q(x),) (x)P(x),(x),Q(x),(x)P(x),(x),Q(x),(x)P(x),(x),Q(x),(x)P(x) 附加前提,P(a)T(1)ES,(x)(P(x),Q(x),) P,娱孺筛桩招叁恕荔冬乍顾驴茅朱山焦辉咏非豢栖液寐姆随菜齐朗技褂槐妮山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,P79 (3)符号化并推理,b)任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或者喜欢汽车或者喜欢骑自行车。有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行。,W(x):x喜欢步行；C(x):x喜欢乘汽车; B(x): x爱骑自行车,(x)(W(x),C(x),(x)(C(x),B,(x),), (x),B,(x), (x),W,(x),堵坍船髓汹觅潜循倾刁贵讼邓尊惰迸炊喘誓翟步生混耶陋重陛考实综奠铅山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示,